bzoj4037 [HAOI2015]数字串拆分

Description

你有一个长度为n的数字串。定义f(S)为将S拆分成若干个1~m的数的和的方案数，比如m=2时，f(4)=5，分别为4=1+1+1+1你可以将这个数字串分割成若干个数字（允许前导0），将他们加起来，求f，并求和。比如g(123)=f(1+2+3)+f(1+23)+f(12+3)+f(123)。已知字符串和m后求答案对998244353（7×17×223+1，一个质数）取模后的值。

Input

第一行输入一个字符串，第二行输入m

Output

仅输出一个数表示答案

Sample Input

123
3

Sample Output

394608467

HINT

对于100%的数据，字符串长度不超过500，m<=5

正解：$dp$+矩阵乘法。

矩阵可以用来$dp$转移。。

设$g[i]$表示$i$的拆分数，那么$g[i]=\sum_{j=0}^{m}g[i-j]$，这显然可以用矩阵表示，设转移矩阵为$A$。

然后我们设$f[i]$表示字符串到$i$的方案数。我们可以发现$A^{a1+a2+...+ak}=A^{a1}*A^{a2}*...*A^{ak}$。

那么我们把$f$也变成矩阵，则$f[i]=\sum_{j=0}^{i-1}f[j]*A^{s[j+1]...s[i]}$，因为矩阵可以加法，满足分配律，所以这里是对的。

预处理出$(A^{10^{r}})^{k}$，然后直接$dp$即可。复杂度$O(m^{3}*n^{2})$。

 #include <bits/stdc++.h>
 #define il inline
 #define RG register
 #define ll long long
 #define rhl (998244353)

 using namespace std;

 struct data{ int m[][]; }A[][],f[],now;

 char s[];
 int n,m;

 il int gi(){
   RG int x=,q=; RG char ch=getchar();
   while ((ch<'' || ch>'') && ch!='-') ch=getchar();
   if (ch=='-') q=-,ch=getchar();
   while (ch>='' && ch<='') x=x*+ch-,ch=getchar();
   return q*x;
 }

 il void add(data &a,data b){
   for (RG int i=;i<=m;++i)
     for (RG int j=;j<=m;++j){
       a.m[i][j]+=b.m[i][j];
       if (a.m[i][j]>=rhl) a.m[i][j]-=rhl;
     }
   return;
 }

 il data mul(data a,data b){
   data c; memset(c.m,,sizeof(c.m));
   for (RG int i=;i<=m;++i)
     for (RG int j=;j<=m;++j)
       for (RG int k=;k<=m;++k)
     c.m[i][k]=(1LL*a.m[i][j]*b.m[j][k]+c.m[i][k])%rhl;
   return c;
 }

 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
   freopen("split.in","r",stdin);
   freopen("split.out","w",stdout);
 #endif
   scanf("%s",s+),n=strlen(s+),m=gi();
   for (RG int i=;i<=m;++i)
     for (RG int j=;j<=m;++j) A[][].m[i][j]=i==j;
   for (RG int i=;i<m;++i) A[][].m[i+][i]=;
   for (RG int i=;i<=m;++i) A[][].m[i][m]=;
   for (RG int i=;i<;++i) A[][i]=mul(A[][i-],A[][]);
   for (RG int i=;i<=n;++i){
     A[i][]=A[][],A[i][]=mul(A[i-][],A[i-][]);
     for (RG int j=;j<;++j) A[i][j]=mul(A[i][j-],A[i][]);
   }
   f[]=A[][];
   for (RG int i=;i<=n;++i){
     now=A[][s[i]-''];
     for (RG int j=i-;~j;--j){
       add(f[i],mul(f[j],now));
       if (j) now=mul(A[i-j][s[j]-''],now);
     }
   }
   cout<<f[n].m[m][m]; return ;
 }