题目链接:

题目大意(摘自刘汝佳<<算法竞赛入门经典--训练指南>>):F城是由n+1条横向路和m+1条竖向路组成。你的任务是从最南边的路走到最北边的路,使得走过的路上的高兴值和最大(注意,一段路上的高兴值可能是负数)。同一段路不能经过两次,且不能从北往南走,另外,在每条横向路上所花的时间不能超过k。求从南到北走完可以获得的最大高兴值。

分析:用dp[i][j]表示到达编号为(i,j)的路口时所能得到的最大高兴值,则dp[i][j] = max{ dp[i+1][j]; dp[i+1][k] + s[i+1][j]-s[i+1][k], (L[i][j] <= k < j); dp[i+1][k] + s[i+1][k]-s[i+1][j], (j <= k < R[i][j]) };

其中,s[i][j] 表示第i行从第0个路口到第j个路口的高兴值之和,L[i][j]是同一行上能够走到(i,j)位置的最左位置,R[i][j]是同一行上能够走到(i,j)位置的最右位置,这三个量都可以预处理出来。

上述dp的复杂度是O(n^3)的,需要优化,考虑dp[i][j] = max(dp[i+1][k] + s[i+1][j]-s[i+1][k]),i,j固定时,s[i+1][j]为常量,不妨设s[i+1][j] = P, 且令f[k] = dp[i+1][k] - s[i+1][k],则dp[i][j] = max(f[k]) + P,此时就可以用单调队列来维护了,对于每行,从左到右扫描,并维护一个递减的单调对列。具体参看代码。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 104
#define M 10004 int L[N][M], R[N][M];
int v[N][M], t[N][M];
int n, m, k;
int Q[M];
int f[M], sum[N][M], dp[N][M];
int main()
{
while(~scanf("%d %d %d", &n, &m, &k), n||m||k)
{
for(int i = ; i <= n+; i++)
for(int j = ; j < m; j++)
scanf("%d", &v[i][j]);
for(int i = ; i <= n+; i++)
for(int j = ; j < m; j++)
scanf("%d", &t[i][j]);
for(int i = ; i <= n+; i++)
{
sum[i][] = ;
for(int j = ; j <= m; j++) sum[i][j] = sum[i][j-] + v[i][j-];
}
for(int i = ; i <= n+; i++)
{
L[i][] = , R[i][m] = m;
int cur = , id = ;
for(int j = ; j <= m; j++){
cur += t[i][j-];
while(cur > k) cur -= t[i][id++];
L[i][j] = id;
}
cur = , id = m-;
for(int j = m-; j >= ; j--){
cur += t[i][j];
while(cur > k) cur -= t[i][id--];
R[i][j] = id+;
}
} for(int i = ; i < m+; i++) dp[n+][i] = ;
for(int i = n; i >= ; i--)
{
int head = , rear = ;
for(int j = ; j < m+; j++)
{
f[j] = dp[i+][j] - sum[i+][j];
while(rear < head && Q[rear] < L[i+][j]) rear++;
while(head > rear && f[j] >= f[Q[head-]]) head--;
Q[head++] = j;
dp[i][j] = max(dp[i+][j], sum[i+][j]+f[Q[rear]]);
}
head = , rear = ;
for(int j = m; j >= ; j--)
{
f[j] = dp[i+][j] + sum[i+][j];
while(rear < head && Q[rear] > R[i+][j]) rear++;
while(head > rear && f[j] >= f[Q[head-]]) head--;
Q[head++] = j;
dp[i][j] = max(dp[i][j], f[Q[rear]]-sum[i+][j]);
}
}
int ans = ;
for(int i = ; i < m+; i++) ans = max(ans, dp[][i]);
printf("%d\n", ans);
}
return ;
}

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