[BZOJ3671][UOJ#6][NOI2014]随机数生成器

[BZOJ3671][UOJ#6][NOI2014]随机数生成器

试题描述

小H最近在研究随机算法。随机算法往往需要通过调用随机数生成函数（例如Pascal中的random和C/C++中的rand）来获得随机性。事实上，随机数生成函数也并不是真正的“随机”，其一般都是利用某个算法计算得来的。

比如，下面这个二次多项式递推算法就是一个常用算法：

算法选定非负整数x0,a,b,c,d作为随机种子，并采用如下递推公式进行计算。

对于任意i≥1,xi=(ax2i−1+bxi−1+c)mod d 。

这样可以得到一个任意长度的非负整数数列{xi}i≥1，一般来说，我们认为这个数列是随机的。

利用随机序列{xi}i≥1，我们还可以采用如下算法来产生一个1到K的随机排列{Ti}i=1~K ：

1. 初始设T为1到K的递增序列；
2. 对T进行K次交换，第i次交换，交换Ti和T(ximodi)+1的值。

此外，小H在这K次交换的基础上，又额外进行了Q次交换操作，对于第i次额外交换，小H会选定两个下标ui和vi，并交换Tui和Tvi的值。

为了检验这个随机排列生成算法的实用性，小H设计了如下问题：

小H有一个N行M列的棋盘，她首先按照上述过程，通过N×M+Q次交换操作，生成了一个 1∼N×M的随机排列{Ti}N×Mi=1然后将这N×M个数逐行逐列依次填入这个棋盘：也就是第 i行第 j列的格子上所填入的数应为T(i−1)×M+j。

接着小H希望从棋盘的左上角，也就是第一行第一列的格子出发，每次向右走或者向下走，在不走出棋盘的前提下，走到棋盘的右下角，也就是第N行第M列的格子。

小H把所经过格子上的数字都记录了下来，并从小到大排序，这样，对于任何一条合法的移动路径，小H都可以得到一个长度为N+M−1的升序序列，我们称之为路径序列。

小H想知道，她可能得到的字典序最小的路径序列应该是怎样的呢？

输入

输入文件的第1行包含5个整数，依次为x0,a,b,c,d，描述小H采用的随机数生成算法所需的随机种子。

第2行包含三个整数 N,M,Q，表示小H希望生成一个11 到N×M的排列来填入她N行M列的棋盘，并且小H在初始的N×M次交换操作后，又进行了Q次额外的交换操作。

接下来Q行，第i行包含两个整数ui,vi，表示第i次额外交换操作将交换 Tui和Tvi的值

输出

输出一行，包含 N+M−1个由空格隔开的正整数，表示可以得到的字典序最小的路径序列。

输入示例1

输出示例1

输入示例2

输出示例2

输入示例3

输出示例3

输入示例4

传送门（点击下载）

输出示例4

传送门

数据规模及约定

2≤N,M≤5000

0≤Q≤50000

0≤a≤300

0≤b,c≤10⁸

0≤x0<d≤10⁸

1≤ui,vi≤N×M

题解

既然要求排完序之后的字典序最小，那显然可以用贪心来解决。

先把起点和终点的数加进来，之后从1到n·m依次判断。判断数i时先找到i左边最靠近i的一列（称为列L），再找到右边最靠近i的一列（称为列R），以列L中已插入的最靠下的位置和列R中已插入的最靠上的位置分别作为矩形的左上、右下顶点，若i在这个矩形内部则可以取到，否则不能取到。对于每一个可以去到的i，将其行、列的位置加进来。

这个好像可以用线段树搞？

仔细看题，加入操作不超过9999次（n + m - 1次），所以暴！力！即！可！【用线段树反而会多一个log】

下面这个代码是97分的，感谢UOJ用户 r_64 的hack，帮我找到了代码的Bug。（读者不妨看看我错在哪里）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;

const int BufferSize = 1 << 16;
char buffer[BufferSize], *Head, *tail;
inline char Getchar() {
    if(Head == tail) {
        int l = fread(buffer, 1, BufferSize, stdin);
        tail = (Head = buffer) + l;
    }
    return *Head++;
}
int read() {
    int x = 0, f = 1; char c = Getchar();
    while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = Getchar(); }
    while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = Getchar(); }
    return x * f;
}

#define maxn 5010
#define maxm 25000010
#define LL long long
int n, m, q, x[maxm], T[maxm], tl[maxn], tr[maxn], high[maxn], low[maxn];

int ans[maxn<<1], cnt;
short idy[maxm];
int main() {
	x[0] = read(); int a = read(), b = read(), c = read(), d = read();
	n = read(); m = read(); q = read();
	for(int i = 1; i <= n * m; i++) {
		x[i] = (((LL)a * x[i-1] * x[i-1]) % d + ((LL)b * x[i-1]) % d + c) % d;
		T[i] = i;
	}
	for(int i = 1; i <= n * m; i++) swap(T[i], T[x[i]%i+1]);
	while(q--) {
		int x = read(), y = read();
		if(x != y) swap(T[x], T[y]);
	}
	for(int i = 1; i <= n * m; i++)
		x[T[i]] = (i-1) / m + 1, idy[T[i]] = (i-1) % m + 1;

	for(int i = 2; i < m; i++) tl[i] = 1, tr[i] = m, high[i] = n+1, low[i] = 0;
	high[1] = low[1] = 1; high[m] = low[m] = n;
	for(int i = 1; i <= n * m; i++) if(i != T[1] && i != T[n*m]) {
		int X = x[i], y = idy[i];
		if((y == 1 || low[tl[y]] <= X) && (y == m || X <= high[tr[y]])) {
			ans[++cnt] = i;
			for(int j = tl[y]; j < y; j++) tr[j] = y;
			for(int j = y+1; j <= tr[y]; j++) tl[j] = y;
//			printf("%d %d %d\n", i, x, y);
//			for(int j = 1; j <= m; j++) printf("%d ", tl[j]); putchar('\n');
//			for(int j = 1; j <= m; j++) printf("%d ", tr[j]); putchar('\n');
			low[y] = max(low[y], X); high[y] = min(high[y], X);
		}
	}
	else ans[++cnt] = i;

	for(int i = 1; i < cnt; i++) printf("%d ", ans[i]); printf("%d\n", ans[cnt]);

	return 0;
}

100分：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;

const int BufferSize = 1 << 16;
char buffer[BufferSize], *Head, *tail;
inline char Getchar() {
    if(Head == tail) {
        int l = fread(buffer, 1, BufferSize, stdin);
        tail = (Head = buffer) + l;
    }
    return *Head++;
}
int read() {
    int x = 0, f = 1; char c = Getchar();
    while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = Getchar(); }
    while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = Getchar(); }
    return x * f;
}

#define maxn 5010
#define maxm 25000010
#define LL long long
int n, m, q, x[maxm], T[maxm], tl[maxn], tr[maxn], high[maxn], low[maxn];

int ans[maxn<<1], cnt;
short idy[maxm];
int main() {
	x[0] = read(); int a = read(), b = read(), c = read(), d = read();
	n = read(); m = read(); q = read();
	for(int i = 1; i <= n * m; i++) {
		x[i] = (((LL)a * x[i-1] * x[i-1]) % d + ((LL)b * x[i-1]) % d + c) % d;
		T[i] = i;
	}
	for(int i = 1; i <= n * m; i++) swap(T[i], T[x[i]%i+1]);
	while(q--) {
		int x = read(), y = read();
		if(x != y) swap(T[x], T[y]);
	}
	for(int i = 1; i <= n * m; i++)
		x[T[i]] = (i-1) / m + 1, idy[T[i]] = (i-1) % m + 1;

	for(int i = 1; i <= m; i++) tl[i] = 1, tr[i] = m, high[i] = n+1, low[i] = 0;
	high[1] = low[1] = 1; high[m] = low[m] = n;
	for(int i = 1; i <= n * m; i++) if(i != T[1] && i != T[n*m]) {
		int X = x[i], y = idy[i];
		if((y == 1 || low[tl[y]] <= X) && (y == m || X <= high[tr[y]])) {
			ans[++cnt] = i;
			for(int j = tl[y]; j < y; j++) tr[j] = y;
			for(int j = y+1; j <= tr[y]; j++) tl[j] = y;
//			printf("%d %d %d\n", i, x, y);
//			for(int j = 1; j <= m; j++) printf("%d ", tl[j]); putchar('\n');
//			for(int j = 1; j <= m; j++) printf("%d ", tr[j]); putchar('\n');
			low[y] = max(low[y], X); high[y] = min(high[y], X);
		}
	}
	else ans[++cnt] = i;

	for(int i = 1; i < cnt; i++) printf("%d ", ans[i]); printf("%d\n", ans[cnt]);

	return 0;
}