KD-tree详解

转载自:http://blog.csdn.NET/zhjchengfeng5/article/details/7855241

首先来一个问题：

给定平面上一个点集 E ，还有一个定点 V ，怎么在一群点中找出一个点 U，使得 V 与 U 的距离最近（欧几里得距离）？

当然，我们能够想到一种做法：枚举 E 中所有的点，找出它们中距离V 最近的点 U。

但是，假设现在有两个点集 E1 与 E2 ，对于 E2 中每一个点 Vi ，找出一个在E1 中的一个点 Ui，使得 Vi 到 Ui 的距离最短，这怎么做？还是枚举？

既然枚举的复杂度很高 ( O(n) 的复杂度 )，那有没有办法把复杂度降下来呢？答案是肯定的，引入一种数据结构：K-D
tree

一、何为 K-D tree？

二叉树（有左儿子，右儿子的那种树形结构）

二、能解决哪些问题？

K-D tree 可以在 log(n) （ 最坏是 sqrt(n) ）的时间复杂度内求出一个点集 E 中，距离一个定点 V 最近的点（最近邻查询），稍稍处理一下，我们还可以求出点集 E 中距离距离 V 最近的 k 个点（k邻近查询）

三、怎么利用 K-D tree 解决上面的问题？

将点集 E中的点按照某种规则建成一棵二叉树，查询的时候就在这颗建好的二叉树上面用 log(n) （最坏是 sqrt(n)）的时间复杂度查询出距离最近的点

四、既然是二叉树，怎么建树？

这是最关键的地方，因为不管是 划分树 ， 线段树 ， 字典树 ，甚至是其他的数据结构或者算法（例如 KMP
之类的） ，之所以能够高效的处理问题，主要就是预处理的好。 K-D tree 之所以高效，就是因为建树很高明，高明之处体现在 “将点集 E中的点按照某种规则建成一棵二叉树” 的这种规则上

在讲这种规则之前，我们先来看看 K-D tree 这种数据结构为什么叫做 K-D tree

K：K邻近查询中的k

D：空间是D维空间（Demension）

tree：你可以理解为是二叉树，也可以单纯的看做是一颗 tree

好了， K 我们已经用到了，tree 我们也已经用到了，但是 D 呢？貌似这篇文章到现在为止还没有提到过 D 吧？

这种规则，就是针对空间的“维”的

既然要建树，那么树上的节点肯定要定义一些状态：

节点的状态：

分裂点（split_point）

分裂方式（split_method）

左儿子（left_son）

右儿子（right_son）

我们建树的规则就是节点的状态中的：分裂方式（split_method）

想必读者已经看见上面的关键字了：分裂点 分裂方式，为什么反复的出现分裂这两个字呢？难道建一颗 K-D tree 还要分裂什么，分裂空间？

对，K-D tree的建立就是分裂空间的过程！

怎么建树呢？

建树依据：

先计算当前区间 [ L , R ] 中（这里的区间是点的序号区间，而不是我们实际上的坐标区间），每个点的坐标的每一维度上的方差，取方差最大的那一维，设为 d，作为我们的分裂方式（split_method ），把区间中的点按照在 d 上的大小，从小到大排序，取中间的点 sorted_mid 作为当前节点记录的分裂点，然后，再以 [ L , sorted_mid-1 ] 为左子树建树 ， 以 [sorted_mid+1
, R ] 为右子树建树，这样，当前节点的所有状态我们便确定下来了：

split_point= sorted_mid

split_method= d

left_son    =  [ L , sorted_mid-1 ]

right_son =  [ sorted_mid+1 , R ]

为了便于理解，我先举个例子：

假设现在我们有平面上的点集 E ，其中有 5 个二维平面上的点 ： （1,4）（5,8） （4,2） （7,9） （10，11）

它们在平面上的分布如图：

首先，我们对区间 [ 1 , 5 ] 建树：

先计算区间中所有点在第一维（也就是 x 坐标）上的方差：

平均值 ： ave_1 =5.4

方差 ： varance_1 =9.04

再计算区间中所有点在第二维（也就是 y 坐标）上的方差：

平均值：ave_2 =6.8

方差：varance_2 =10.96

明显看见，varance_2 > varance_1 ，那么我们在本次建树中，分裂方式 ：split_method =2 ， 再将所有的点按照 第 2 维 的大小从小到大排序，得到了新的点的一个排列：

（4,2） （1,4）（5,8） （7,9） （10,11）

取中间的点作为分裂点 sorted_mid =（5，8）作为根节点，再把区间 [ 1 , 2] 建成左子树
, [ 4 , 5] 建成右子树，此时，直线 ： y = 8 将平面分裂成了两半，前面一半给左儿子，后面一半给了右儿子，如图：

建左子树 [1 , 3 ] 的时候可以发现，这时候是 第一维 的方差大 ，分裂方式就是1 ，把区间 [ 1, 2 ] 中的点按照 第一维 的大小，从小到大排序 ，取中间点（1,4） 根节点，再以区间
[ 2, 2] 建立右子树 得到节点 （4,2）

建右子树 [4 , 5 ] 的时候可以发现，这时还是 第一维 的方差大， 于是，我们便得到了这样的一颗二叉树 也就是 K-D tree，它把平面分成了如下的小平面，使得每个小平面中最多有一个点：

可以看见，我们实际上在建树的过程中，把整个平面分成了 4 个部分

树是建了，那么查询呢?

查询过程：

查询，其实相当于我们要将一个点“添加”到已经建好的 K-D tree 中，但并不是真的添加进去，只是找到他应该处于的子空间即可，所以查询就显得简单的毒攻了

每次在一个区间中查询的时候，先看这个区间的分裂方式是什么，也就是说，先看这个区间是按照哪一维来分裂的，这样如果这个点对应的那一维上面的值比根节点的小，就在根节点的左子树上进行查询操作，如果是大的话，就在右子树上进查询操作

每次回溯到了根节点（也就是说，对他的一个子树的查找已经完成了）的时候，判断一下，以该点为圆心，目前找到的最小距离为半径，看是否和分裂区间的那一维所构成的平面相交，要是相交的话，最近点可能还在另一个子树上，所以还要再查询另一个子树，同时，还要看能否用根节点到该点的距离来更新我们的最近距离。为什么是这样的，我们可以用一幅图来说明：

在查询到左儿子的时候，我们发现，现在最小的距离是 r = 10 ，当回溯到父亲节点的时候，我们发现，以目标点（10,1）为圆心，现在的最小距离 r = 10 为半径做圆，与分割平面 y = 8 相交，这时候，如果我们不在父亲节点的右儿子进行一次查找的话，就会漏掉 （10,9） 这个点，实际上，这个点才是距离目标点 （10,1） 最近的点

由于每次查询的时候可能会把左右两边的子树都查询完，所以，查询并不是简单的 log(n) 的，最坏的时候能够达到 sqrt(n)

好了，到此，K-D tree 就差不多了，写法上与很多值得优化的地方，至于怎么把最邻近查询变换到 K 邻近查询，我们用一个数组记录一个点是否可以用来更新最近距离即可，下面贴上 K-D tree 一个模板

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>

#define INT_INF 0x3fffffff
#define LL_INF 0x3fffffffffffffff
#define EPS 1e-12
#define MOD 1000000007
#define PI 3.141592653579798
#define N 60000

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef double DB;

struct data
{
    LL pos[10];
    int id;
} T[N] , op , point;
int split[N],now,n,demension;

bool use[N];
LL ans,id;
DB var[10];

bool cmp(data a,data b)
{
    return a.pos[split[now]]<b.pos[split[now]];
}

void build(int L,int R)
{
    if(L>R) return;

    int mid=(L+R)>>1;

    //求出 每一维 上面的方差
    for(int pos=0;pos<demension;pos++)
    {
        DB ave=var[pos]=0.0;
        for(int i=L;i<=R;i++)
            ave+=T[i].pos[pos];
        ave/=(R-L+1);
        for(int i=L;i<=R;i++)
            var[pos]+=(T[i].pos[pos]-ave)*(T[i].pos[pos]-ave);
        var[pos]/=(R-L+1);
    }

    //找到方差最大的那一维，用它来作为当前区间的 split_method
    split[now=mid]=0;
    for(int i=1;i<demension;i++)
        if(var[split[mid]]<var[i]) split[mid]=i;

    //对区间排排序，找到中间点
    nth_element(T+L,T+mid,T+R+1,cmp);

    build(L,mid-1);
    build(mid+1,R);
}

void query(int L,int R)
{
    if(L>R) return;
    int mid=(L+R)>>1;

    //求出目标点 op 到现在的根节点的距离
    LL dis=0;
    for(int i=0;i<demension;i++)
        dis+=(op.pos[i]-T[mid].pos[i])*(op.pos[i]-T[mid].pos[i]);

    //如果当前区间的根节点能够用来更新最近距离，并且 dis 小于已经求得的 ans
    if(!use[T[mid].id] && dis<ans)
    {
        ans=dis;  //更新最近距离
        point=T[mid];  //更新取得最近距离下的点
        id=T[mid].id;  //更新取得最近距离的点的 id
    }

    //计算 op 到分裂平面的距离
    LL radius=(op.pos[split[mid]]-T[mid].pos[split[mid]])*(op.pos[split[mid]]-T[mid].pos[split[mid]]);

    //对子区间进行查询
    if(op.pos[split[mid]]<T[mid].pos[split[mid]])
    {
        query(L,mid-1);
        if(radius<=ans) query(mid+1,R);
    }
    else
    {
        query(mid+1,R);
        if(radius<=ans) query(L,mid-1);
    }
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&demension)!=EOF)
    {
        //读入 n 个点
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=0;j<demension;j++)
                scanf("%I64d",&T[i].pos[j]);
            T[i].id=i;
        }

        build(1,n);  //建树

        int m,q; scanf("%d",&q);  // q 个询问
        while(q--)
        {
            memset(use,0,sizeof(use));

            for(int i=0;i<demension;i++)
                scanf("%I64d",&op.pos[i]);
            scanf("%d",&m);
            printf("the closest %d points are:\n",m);
            while(m--)
            {
                ans=(((LL)INT_INF)*INT_INF);
                query(1,n);
                for(int i=0;i<demension;i++)
                {
                    printf("%I64d",point.pos[i]);
                    if(i==demension-1) printf("\n");
                    else printf(" ");
                }
                use[id]=1;
            }
        }
    }
    return 0;
}