YbtOJ#883-最大的割【带修线性基】

正题

题目链接:http://www.ybtoj.com.cn/contest/118/problem/3

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解题思路

给出\(n\)个点，\(m\)次动态插入一条无向边询问：割掉一些边使得图中至少两点不连通，并且割掉的边异或和最大。

询问之间相互独立

\(1\leq n\leq 500,1\leq m\leq 1000\)

边权以二进制形式给出，长度不超过\(1000\)

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解题思路

要求分隔两个点，看起来很麻烦，其实有个结论。先定义\(w_i\)表示连接\(i\)的所有边的异或和，如果选出了一个点集\(U\)和外面的所有点都隔绝，那么割就是点集\(U\)中所有点的\(w_i\)值异或和。

其实挺显然的，因为如果两个点集中的点\(x,y\)之间的边被异或了两次就抵消掉了。

那么现在问题就变为了每次修改两个数，求最大异或和。

然后就是带修线性基的裸题了，有两种方法

在线做法是先删除再插入，就是开一个0行储存所有的没有成功插入线性基的元素，然后还要对于每个元素维护一个它插入的时候异或了哪些元素。

每次你删除一个元素\(x\)的时候，假设集合\(S\)中储存了所有插入的时候异或了\(x\)的元素（包括\(x\)本身），那么我们找出一个最小的\(y\in S\)（异或后），让所有\(S\)中的其他元素异或上\(y\)之后再将\(y\ xor\ c\)插入（\(c\)表示你要让\(x\)异或的值）

此时就相当于你将之前插入\(x\)时本应该异或的数变成了异或\(x\ xor\ c\)的，选出最小的\(y\)防止对后面的元素产生影响，然后修改后让\(y\)代替\(x\)成为新的主元插入。

加一个\(bitset\)优化，时间复杂度\(O(\frac{m(n+L)L}{w})\)

离线的做法是线段树分治，一个\(x\)的取值会被分为不同的时间段，每次将\(x\)的固定的时间段插入到线段树的对应区间，然后分治下去的时候维护一个撤销线性基就好了。

时间复杂度\(O(\frac{mL^2\log m}{w})\)（也许？）

这里写的是在线的做法

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<bitset>
using namespace std;
const int N=1010;
bitset<N>w[N],v[N],c,ans;
int n,m,p[N];char s[N];
void Insert(int x){
	for(int i=N-1;i>=0;i--)
		if(w[x][i]){
			if(p[i])w[x]^=w[p[i]],v[x]^=v[p[i]];
			else{p[i]=x;return;}
		}
	return;
}
void Change(int x){
	int pos=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(v[i][x]&&!w[i].any()){pos=i;break;}
	if(!pos)
		for(int i=0;i<N;i++)
			if(p[i]&&v[p[i]][x]){pos=p[i];p[i]=0;break;}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(v[i][x]&&i!=pos)
			w[i]^=w[pos],v[i]^=v[pos];
	w[pos]^=c;
	Insert(pos);return;
}
int main()
{
	freopen("cut.in","r",stdin);
	freopen("cut.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)v[i][i]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);scanf("%s",s);
		int l=strlen(s);c.reset();
		for(int j=0;j<l;j++)c[j]=s[l-j-1]-'0';
		Change(x);
		Change(y);bool flag=0;
		ans.reset();
		for(int i=N-1;i>=0;i--){
			if(p[i]&&!ans[i])ans^=w[p[i]];
			if(ans[i])flag=1;
			if(flag)printf("%d",ans[i]?1:0);
		}
		if(!flag)puts("0");
		else putchar('\n');
	}
	return 0;
}