Solution -「POJ 3710」Christmas Game

\(\mathcal{Decription}\)

  Link.

  定义一棵圣诞树：

• 是仙人掌。

• 不存在两个同一环上的点，度数均 \(\ge 3\)。

  给出 \(n\) 棵互不相关的圣诞树，双人博弈，每轮切断一棵圣诞树的一条边，并且与该树根不向连的部分全部消失，不能操作者负。求先手是否有必胜策略。

  多测，\(T,n\le 100\)，\(m\le 500\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  没有什么不说人话的定理和结论，这里只应用 SG 函数和 Nim 游戏的基础知识。

  本题解中，定义树上“长度”为两点间边的数量。

  首先，考虑从根连出多条链的图，显然是 Nim 游戏，每堆石子就是链的长度，根的 SG 函数为这些长度的异或和。

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  接下来考虑任意一棵树，发现上述结论可以归纳地推广。根据定义，全局 SG 函数为各部分独立 SG 函数异或和，得到：

\[ \operatorname{sg} (u)=\bigoplus_{v\in son_u} (\operatorname{sg} (v)+1)
\]

  注意这里 \(\operatorname{sg} (u)\) 实际上表示 \(u\) 子树的 SG 函数值。其中 \(+1\) 意为每堆石子（链）的长度都 \(+1\)。

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  回忆一下 SG 函数的定义：

\[ \operatorname{sg} (S)=\operatorname{mex}_{T\in\operatorname{next}(S) }\{\operatorname{sg} (T)\}\tag{*}
\]

  此后，考虑从 \((*)\) 式的角度求环的 SG 函数。环的后继状态为删除环上任意一条边得到两条链，而链是 Nim 游戏，SG 函数为链长异或和，可以解决。形式地，设环 \(C\) 的大小为 \(n\)，有：

\[ \operatorname{sg} (C)=\operatorname{mex}_{a+b=n-1\land(a,b\in\mathbb N)}\{a\oplus b\}
\]

  分 \(n\) 的奇偶性讨论：

1. \(2|n \Rightarrow 2\not|(n-1)\)，而 \(a+b=n-1\)，所以 \(a,b\) 奇偶性不同，则它们二进制最低位不同。那么两数异或值不可能为 \(0\)，即集合中不存在 \(0\)，那么此时 \(\operatorname{sg} (C)=0\)。

2. \(2\not|n \Rightarrow 2|(n-1)\)，而 \(a+b=n-1\)，同理地，两数异或值必然为偶数，而且显然存在 \(0\)。得到 \(\operatorname{sg} (C)=1\)。

  综上，\(\operatorname{sg} (C)=[2\not|n]\)。

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  回到本题，“圣诞树”的定义保证了环在缩点后的图中是叶子，所以对于环，用环的 SG 函数算，否则用树的 SG 函数算，最后求每棵圣诞树的 SG 异或就能判断先手胜负啦。

  单棵树复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

\(\mathcal{Code}\)

/* Clearink */

#include <cstdio>

const int MAXN = 100, MAXM = 500;
int n, m, ecnt, head[MAXN + 5], dep[MAXN + 5], sg[MAXN + 5];
bool vis[MAXN + 5];

struct Edge { int to, nxt; } graph[MAXM * 2 + 5];

inline void link ( const int s, const int t ) {
	graph[++ ecnt] = { t, head[s] };
	head[s] = ecnt;
}

inline int calcSG ( const int u, const int fe ) {
/*
	返回值表示当前找到的环的顶点（唯一可能度数 >= 3 的点），若不在环上，返回 0。
*/
	vis[u] = true;
	for ( int i = head[u], v, cir; i; i = graph[i].nxt ) {
		if ( ( i ^ 1 ) == fe || !( v = graph[i].to ) ) continue;
		if ( vis[v] ) {
			sg[v] ^= ( dep[u] - dep[v] + 1 ) & 1;
			graph[i ^ 1].to = 0;
			return v;
		}
		dep[v] = dep[u] + 1, cir = calcSG ( v, i );
		if ( !cir ) sg[u] ^= sg[v] + 1;
		else if ( cir ^ u ) return cir;
	}
	return 0;
}

inline void clear () {
	ecnt = 1;
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) head[i] = sg[i] = dep[i] = vis[i] = 0;
}

int main () {
	for ( int T; ~scanf ( "%d", &T ); ) {
		int ans = 0;
		while ( T -- ) {
			clear ();
			scanf ( "%d %d", &n, &m );
			for ( int i = 1, u, v; i <= m; ++ i ) {
				scanf ( "%d %d", &u, &v );
				link ( u, v ), link ( v, u );
			}
			calcSG ( 1, 0 ), ans ^= sg[1];
		}
		puts ( ans ? "Sally" : "Harry" );
	}
	return 0;
}