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题目描述:

给定一个整数 n,求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种?

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树: 1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3

解题思路:

这道题实际上是Catalan Number卡塔兰数的一个例子,如果对卡塔兰数不熟悉的童鞋可能真不太好做。先来看当 n = 1的情况,只能形成唯一的一棵二叉搜索树,n分别为1,2,3的情况如下所示:

                    1                        n = 1

                2        1                   n = 2
/ \
1 2 1 3 3 2 1 n = 3
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3

就跟斐波那契数列一样,我们把n = 0 时赋为1,因为空树也算一种二叉搜索树,那么n = 1时的情况可以看做是其左子树个数乘以右子树的个数,左右字数都是空树,所以1乘1还是1。那么n = 2时,由于1和2都可以为跟,分别算出来,再把它们加起来即可。n = 2的情况可由下面式子算出:

dp[2] =  dp[0] * dp[1]   (1为根的情况)

    + dp[1] * dp[0]    (2为根的情况)

同理可写出 n = 3 的计算方法:

dp[3] =  dp[0] * dp[2]   (1为根的情况)

    + dp[1] * dp[1]    (2为根的情况)

     + dp[2] * dp[0]    (3为根的情况)

由此可以得出卡塔兰数列的递推式为:

我们根据以上的分析,可以写出代码如下:

C++解法一:

我们根据以上的分析,可以写出代码如下:

class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int> dp(n + 1, 0);
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
for (int j = 0; j < i; ++j) {
dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
}
}
return dp[n];
}
};

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