C++数论板题（弹药科技）：Lengendre定理和欧拉函数

弹药科技

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题目描述

经过精灵族全力抵挡，精灵终于坚持到了联络系统的重建，于是精灵向人类求助，

大魔法师伊扎洛决定弓}用博士的最新科技来抗敌。 伊扎洛:“博士，还没好吗?” 博士:“只差一步了!只需要在正确的位置装上弹药就可以了!”博士的最新科技是全新的炸弹，但是现在还需要一步装弹药的操作。博士的炸弹有N!个位置可以装弹药(>.<)，但是只有在正确的位置装上弹药才能启动，博士将装弹药的位置编号为1到N!，一个位置i需要装弹药，当且仅当gcd(i, N!) ≠ 1且 N! mod i ≠0，现在博士不要求你求出所有装弹药位置，只需要你求出满足要求 的位置的数量就可以了。

输入 一个数N

输出

表示满足要求的位置数量，答案对mod1000000007输出

样例输入

4

样例输出

9

提示 【数据范围】

N <= 1000000

N!为总方案数。那么题目要求的答案便是总方案数n!减去与n!互质的数与n!的所有因子。

与n！互质的数容易想到使用欧拉函数来求

\(\varphi(n)=n*\frac{p_{1}}{(p_{1}-1)}*\frac{p_{2}}{(p_{2}-1)}*...*\frac{p_{n}}{p_{n}-1})\)

其中\(p_{i}\)表示把n分解成质因数的结果。

n！的因数个数也可以这么求\((w_{1}+1)*(w_{2}+1)*...*(w_{n}+1)\)

w为唯一分解后质数的指数。

需要注意的是，w不能直接求，需要用Lengendre定理。（这里Lengendre定理不能求模）

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

#define N 1000010
#define MOD 1000000007
#define LL long long

LL idx[N],prime[N],n,cnt,phi,fac=1,sum=1;
bool vis[N];

void Euler(int n) {
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(vis[i]==0)
            prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt && 1ll*i*prime[j]<=n;j++) {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

LL LG(LL n,LL P) {
    LL ans=0,sum=P;
    while(n>=sum) {
        ans=(ans+n/sum);
        sum=sum*P;
    }
    return ans;
}

LL qkpow(LL base,LL indexx)
{
    LL fuck=1;
    while(indexx>0)
    {
        if(indexx&1)
            fuck=fuck*base%MOD;
        base=base*base%MOD;
        indexx>>=1;
    }
    return fuck%MOD;
}

LL inv(LL sum) {
    return qkpow(sum,MOD-2);
}

int main() {
    cin>>n;
    Euler(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fac=(1ll*fac*i)%MOD;
    phi=fac;
    for(int i=1;i<=cnt;i++) {
        phi=1ll*phi*(prime[i] - 1)%MOD*inv(prime[i]) %MOD;
        sum=(1ll*sum*(LG(n,prime[i])+1)%MOD)%MOD;
    }
    cout<<(fac-phi+MOD+MOD-sum+1)%MOD;
}