引入

上一篇写了二叉排序树,构建一个二叉排序树,如果构建序列是完全有序的,则会出现这样的情况:

显然这种情况会使得二叉搜索树退化成链表。当出现这样的情况,二叉排序树的查找也就退化成了线性查找,所以我们需要合理调整二叉排序树的形态,使得树上的每个结点都尽量有两个子结点,这样整个二叉树的高度就会大约在\(log(n)\) 左右,其中 \(n\) 为结点个数。

基本性质

AVL树也称为平衡二叉树,是一种自平衡的二叉排序树,本质上仍然是一颗二叉排序树,只是增加了“平衡”的要求,平衡是指,对AVL树中任何节点的两个子树的高度之差(称为平衡因子)的绝对值不超过 \(1\) 。能保证上面这一点,AVL树的高度就能始终保持在 \(O(logn)\) 级别。

数据结构定义

由于需要对每个结点都得到平衡因子,因此在AVL树的结构中加入一个变量height,用来记录当前结点为根结点的子树的高度:

typedef struct Node
{
char data;
int height;
struct Node* Left;
struct Node* Right;
}*AVLTree;

获取 root 结点高度:

int getHeight(Node *root){
if(!root) return 0;//空节点高度为0
return root->height;
}

基本操作

查找

​ AVL树是一颗二叉查找树,因此查找操作与二叉查找树相同。因为AVL树的高度为 \(O(logn)\) 级别,所以查找操作的时间复杂度为 \(O(logn)\)。

可以得到和二叉查找树完全相同的代码:

//找不到返回NULL,找到返回该节点。
//非递归
Node* Find(AVLTree t, int x) {
if (!t)return NULL;
if (t->data == x) return t;
if (x < t->data) return BSTreeFind(t->Left, x);
if (x > t->data) return BSTreeFind(t->Right, x);
}
//非递归
Node* Find(AVLTree T,int x) {
BSTree p = T;
while (p) {
if (x == p->data)
return p;
p = x > p->data ? p->Right : p->Left;
}
return NULL;
}

插入

左旋

先抛开AVL树的插入问题,看下面左边的二叉排序树。大家本来和平共处,突然有一天 B 觉得自己的权值比 A 大,要造反,但是B要做根结点,必须也要保证调整后的树仍然是一颗二叉排序树。

☆上所有权值都比A小, ∆ 上所有权值都比B大,无需在调整中进行位置变动;因为调整后B的左孩子变成了A,那么▲必须移动到其他地方去,因为A、B、▲的权值关系满足 A<▲<B ,所以让▲成为A的右子树即可。

这个调整过程称为左旋,分解调整过程如下:

代码如下:

void L(AVLTree *root){
Node* temp = (*root)->Right; //root指向结点A,temp指向结点B
(*root)->Right = temp->Left; //图示步骤2
temp->Left = *root; //图示步骤3
root->height = max(getHeight(root->Left), getHeight(root->Rihgt)) + 1;//更新结点A高度
temp = max(getHeight(temp->Left), getHeight(temp->Rihgt)) + 1;//更新结点B高度
*root = temp;//图示步骤4
}

右旋

右旋是左旋的逆过程,如下:

分解调整过程如下:

代码如下:

void R(AVLTree *root) {
Node* temp = (*root)->Left;//root指向结点B,temp指向结点A
(*root)->Left = temp->Right;
temp->Right = *root;
root->height = max(getHeight(root->Left), getHeight(root->Rihgt)) + 1;
temp = max(getHeight(temp->Left), getHeight(temp->Rihgt)) + 1;
*root = temp;
}

​ 接下来讨论AVL树的插入操作,假设现在已经有一颗平衡二叉树,那么在向其中插入一个结点时,一定会有结点的平衡因子发生改变,此时就可能会有结点的平衡因子大于1 ,这样以该结点为根结点的子树就是失去平衡的,会使平衡二叉树发生失衡的情况可以分为下面四种:

LL、RR型

左左(LL)、右右(RR),LL,RR只表示树型(导致树失去平衡的插入位置),不是左旋、右旋的意思。

对于LL型,需要以A结点为根进行右旋;

对于RR型,需要以A为根结点进行左旋。

所以代码如下:

void RR_Rotate(AVLTree *root){
L(root);
} void LL_Rotate(AVLTree *root) {
R(root);
}

LR,RL型

左右(LR)、右左(RL)。

对于LR型,需要先以B结点为根结点进行一次左旋,再以A结点为根结点进行一次右旋。

对于RL型,需要先以B结点为根结点进行一次右旋,再以A结点为根结点进行一次左旋。

void LR_Rotate(AVLTree *root) {
L(&(*root)->Left);
R(root);
}
void RL_Rotate(AVLTree *root) {
R(&(*root)->Right);
L(root);
}

插入结点

插入算法就是出现不平衡状态时,判断需要使用哪种旋转方式来使得二叉树保持平衡

AVLTree InsertAVLTree(AVLTree root, int x) {
if (root == NULL) {
root = new Node;
root->Left = NULL;
root->Right = NULL;
root->data = x;
return root;
}
if (x > root->data) {
//递归返回插入位置的父节点或者祖父……。
root->Right = InsertAVLTree(root->Right, x);
//如果插入之后失去了平衡
if (height(root->Left) - height(root->Right) == -2) {
//如果插入的值大于,当前节点的左孩子节点,说明该节点是插在root的右子树上的
if (x > root->Left->data) RR_Rotate(&root);
else RL_Rotate(&root);
}
} else if (x < root->data) {
root->Left = InsertAVLTree(root->Left, x);
if (height(root->Left) - height(root->Right) == 2) {
if (x < root->Left->data) LL_Rotate(&root);
else LR_Rotate(&root);
}
}
else {
cout << "the number is already included." << endl;
return NULL;
}
return root;
}

删除结点

和二叉排序树的节点的删除差不多,就是多出来一个判断从哪个子树删除节点的问题。

void AVLTreeDel(AVLTree *root, int data)
{
if (!*root) {
cout << "delete failed" << endl;
return;
}
Node *p = *root;
if (data == p->data) {
//左右子树都非空
if (p->Left && p->Right) {
//在高度更大的那个子树上进行删除操作
//进左子树,右转到底,进右子树,左转到底,转弯碰壁,杀孩子。
if (height(p->Left) > height(p->Right)) {
Node *pre=NULL,*q = p->Left;
if (!q->Right)
q->Right = p->Right;
else {
while (q->Right) {
pre = q;
q = q->Right;
}
pre->Right = q->Left;
q->Left = p->Left;
q->Right = p->Right;
}
*root = q;
}
else {
Node *pre = NULL, *q = p->Right;
if (!q->Left)
q->Left = p->Left;
else {
while (q->Left) {
pre = q;
q = q->Left;
}
pre->Left = q->Right;
q->Left = p->Left;
q->Right = p->Right;
}
*root=q;
}
}
else
(*root) = (*root)->Left ? (*root)->Left : (*root)->Right;
delete p;
}
else if (data < p->data){//要删除的节点在左子树中
//在左子树中进行递归删除
AVLTreeDel(&(*root)->Left, data);
//判断是否仍然满足平衡条件
if (height(p->Right) - height(p->Left) == 2){
//如果当前节点右孩子的左子树更高
if (height(p->Right->Left) > height(p->Right->Right))
RL_Rotate(root);
else
RR_Rotate(root);
}
}
else{
AVLTreeDel(&(*root)->Right, data);
if (height(p->Left) - height(p->Right) == 2) {
if (height((*root)->Left->Left) > height((*root)->Left->Right))
LL_Rotate(root);
else
LR_Rotate(root);
}
}
}

完整测试代码:

#pragma once
#include "top.h" typedef BTreeNode Node, *AVLTree; void RR_Rotate(AVLTree *root){
Node* Right = (*root)->Right;
(*root)->Right = Right->Left;
Right->Left = *root;
*root = Right;
} void LL_Rotate(AVLTree *root) {
Node* Left = (*root)->Left;
(*root)->Left = Left->Right;
Left->Right = *root;
*root = Left;
}
void LR_Rotate(AVLTree *root) {
RR_Rotate(&(*root)->Left);
return LL_Rotate(root);
}
void RL_Rotate(AVLTree *root) {
LL_Rotate(&(*root)->Right);
RR_Rotate(root);
}
AVLTree AVLTreeInsert(AVLTree root, int x) {
if (root == NULL) {
root = new Node;
root->Left = NULL;
root->Right = NULL;
root->data = x;
return root;
}
if (x > root->data) {
root->Right = AVLTreeInsert(root->Right, x);
//递归返回插入位置的父节点或者祖父……,如果失去了平衡
if (height(root->Left) - height(root->Right) == -2) {
//如果插入的值大于,当前节点的右孩子节点,说明该节点是插在root的右子树上的
//if (x > root->Left->data) RR_Rotate(&root);不能保证该节点一定有左子树
if (x > root->Right->data)RR_Rotate(&root);
else RL_Rotate(&root);
}
}
else if (x < root->data) {
root->Left = AVLTreeInsert(root->Left, x);
if (height(root->Left) - height(root->Right) == 2) {
if (x < root->Left->data) LL_Rotate(&root);
else LR_Rotate(&root);
}
}
else {
cout << "the number is already included." << endl;
return NULL;
}
return root;
} AVLTree AVLTreeCreat(int *a, int length) {
AVLTree T = NULL;
for (int i = 0; i < length; i++) {
T = AVLTreeInsert(T, a[i]);
}
return T;
}
Node* AVLFind(AVLTree T, int x) {
Node *p = T;
while (p) {
if (x == p->data) break;
p = x > p->data ? p->Right : p->Left;
}
return p;
} AVLTree AVLMax(AVLTree p)
{
if (!p) return NULL;
if (p->Right == NULL)
return p;
return AVLMax(p->Right);
} AVLTree AVLMin(AVLTree p)
{
if (!p)
return NULL;
if (p->Left == NULL)
return p;
return AVLMin(p->Left);
} void AVLTreeDel(AVLTree *root, int data)
{
if (!*root) {
cout << "delete failed" << endl;
return;
}
Node *p = *root;
if (data == p->data) {
//左右子树都非空
if (p->Left && p->Right) {
//在高度更大的那个子树上进行删除操作
//进左子树,右转到底,进右子树,左转到底,转弯碰壁,杀孩子。
if (height(p->Left) > height(p->Right)) {
Node *pre=NULL,*q = p->Left;
if (!q->Right)
q->Right = p->Right;
else {
while (q->Right) {
pre = q;
q = q->Right;
}
pre->Right = q->Left;
q->Left = p->Left;
q->Right = p->Right;
}
*root = q;
}
else {
Node *pre = NULL, *q = p->Right;
if (!q->Left)
q->Left = p->Left;
else {
while (q->Left) {
pre = q;
q = q->Left;
}
pre->Left = q->Right;
q->Left = p->Left;
q->Right = p->Right;
}
*root=q;
}
}
else
(*root) = (*root)->Left ? (*root)->Left : (*root)->Right;
delete p;
}
else if (data < p->data){//要删除的节点在左子树中
//在左子树中进行递归删除
AVLTreeDel(&(*root)->Left, data);
//判断是否仍然满足平衡条件
if (height(p->Right) - height(p->Left) == 2){
//如果当前节点右孩子的左子树更高
if (height(p->Right->Left) > height(p->Right->Right))
RL_Rotate(root);
else
RR_Rotate(root);
}
}
else{
AVLTreeDel(&(*root)->Right, data);
if (height(p->Left) - height(p->Right) == 2) {
if (height((*root)->Left->Left) > height((*root)->Left->Right))
LL_Rotate(root);
else
LR_Rotate(root);
}
}
} int height(BTree L) {
if (L == NULL)
return 0;
int left = height(L->Left);
int right = height(L->Right);
return left >= right ? left + 1 : right + 1;
} void checkCreat() {
int length = 10;
int *a = getNoRepateRandomArray(length, 10); for (int i = 0; i < length; i++) {
cout << a[i] << ",";
} cout << endl;
AVLTree T = AVLTreeCreat(a, length);
int t = rand() % length;
AVLTreeDel(&T, a[t]);
for (int i = t; i < length - 1; i++) {
a[i] = a[i + 1];
} Preorder(T);
cout << endl;
Inorder(T);
cout << endl;
Postorder(T);
cout << endl;
free(a);
}

数据结构篇——平衡二叉树(AVL树)的更多相关文章

  1. 二叉查找树(BST)、平衡二叉树(AVL树)(只有插入说明)

    二叉查找树(BST).平衡二叉树(AVL树)(只有插入说明) 二叉查找树(BST) 特殊的二叉树,又称为排序二叉树.二叉搜索树.二叉排序树. 二叉查找树实际上是数据域有序的二叉树,即对树上的每个结点, ...

  2. Java 树结构实际应用 四(平衡二叉树/AVL树)

    平衡二叉树(AVL 树) 1 看一个案例(说明二叉排序树可能的问题) 给你一个数列{1,2,3,4,5,6},要求创建一颗二叉排序树(BST), 并分析问题所在.  左边 BST 存在的问题分析: ...

  3. 平衡二叉树,AVL树之图解篇

    学习过了二叉查找树,想必大家有遇到一个问题.例如,将一个数组{1,2,3,4}依次插入树的时候,形成了图1的情况.有建立树与没建立树对于数据的增删查改已经没有了任何帮助,反而增添了维护的成本.而只有建 ...

  4. 二叉查找树(BST)、平衡二叉树(AVL树)

    二叉查找树(BST) 特殊的二叉树,又称为排序二叉树.二叉搜索树.二叉排序树. 二叉查找树实际上是数据域有序的二叉树,即对树上的每个结点,都满足其左子树上所有结点的数据域均小于或等于根结点的数据域,右 ...

  5. 图解:平衡二叉树,AVL树

    学习过了二叉查找树,想必大家有遇到一个问题.例如,将一个数组{1,2,3,4}依次插入树的时候,形成了图1的情况.有建立树与没建立树对于数据的增删查改已经没有了任何帮助,反而增添了维护的成本.而只有建 ...

  6. 【数据结构】平衡二叉树—AVL树

    (百度百科)在计算机科学中,AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树.在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一,所以它也被称为高度平衡树.查找.插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n).增 ...

  7. 平衡二叉树,AVL树之代码篇

    看完了第一篇博客,相信大家对于平衡二叉树的插入调整以及删除调整已经有了一定的了解,下面,我们开始介绍代码部分. 首先,再次提一下使用的结构定义 typedef char KeyType; //关键字 ...

  8. 大话数据结构—平衡二叉树(AVL树)

    平衡二叉树(Self-Balancing Binary Search Tree/Height-Balanced Binary Search Tree),是一种二叉排序树,当中每个节点的左子树和右子树的 ...

  9. 平衡二叉树-AVL树(LL、RR、LR、RL旋转)

    平衡二叉树的定义: 任意的左右子树高度差的绝对值不超过1,将这样的二叉树称为平衡二叉树,二叉平衡树前提是一个二叉排序树. 平衡二叉树的插入: 二叉平衡树在插入或删除一个结点时,先检查该操作是否导致了树 ...

随机推荐

  1. CodeForces 487E Tourists(圆方树+线段树+树链剖分)

    题意 ​ \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向连通图,每个点有点权,\(q\) 个要求,每次更新一个点的点权或查询两点间路径权值最小的点最小的路径. 思路 ​ 算是圆方树的板子吧?圆方树处理的主要 ...

  2. zipfile

    zipfile是一个用于处理zip压缩格式的文件的模块, 主要会用到它的ZipFile类 import zipfile zipfile.is_zipfile('myzip.zip')) # 判断一个文 ...

  3. SpringBoot 分环境变量配置

    方式一:通过不同环境的配置文件 1.1 springboot目录下配置不同环境的配置文件 1.2 在application.properties中配置环境 1.3运行springboot的run方法就 ...

  4. 【07月16日】A股滚动市净率PB历史新低排名

    2010年01月01日 到 2019年07月16日 之间,滚动市净率历史新低排名. 上市三年以上的公司,2019年07月16日市净率在30以下的公司. 来源:A股滚动市净率(PB)历史新低排名. 1 ...

  5. sort和sorted

    sort 与 sorted 区别: sort 是应用在 list 上的方法,sorted 可以对所有可迭代的对象进行排序操作. list 的 sort 方法返回的是对已经存在的列表进行操作,而内建函数 ...

  6. rocketmq常用命令整理

    1. 启动namesrv和borker sh /opt/alibaba-rocketmq/bin/runserver.sh com.alibaba.rocketmq.namesrv.NamesrvSt ...

  7. 使用 go modules 包管理工具(一)

    概述 我想实现一个开箱即用的 API 框架的轮子,这个轮子是基于 Gin 基础上开发的. 为什么是开箱即用,它会集成哪些功能? 以上功能点,都是常用的,后期可能还会增加. 废话不多说,咱们开始吧. 创 ...

  8. parallels desktop 的新建虚拟机的步骤

    新建虚拟机的图   点击窗口-----控制中心--再点击控制中心的+号      

  9. SuRF : Practical Range Query Filtering with Fast Succinct Tries

    1. Introduction 在数据库管理系统中查找某些关键字会导致很大的磁盘I/O开销,针对这一问题,通常会使用一个内存开销小并且常驻内存的过滤器来检测该关键字是否存.比如现在常用的bloom过滤 ...

  10. Asp.Net Core采用MailKit部署到Linux Docker连接邮件服务器报错

    前段时间看文章了解到发邮件的SmtpClient已经过时了,微软官方推荐大家用其他解决方案,例如MailKit. https://docs.microsoft.com/zh-cn/dotnet/api ...