洛谷 P1063 能量项链 题解

P1063 能量项链

题目描述

在\(Mars\)星球上，每个\(Mars\)人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有\(N\)颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是\(Mars\)人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为\(m\)，尾标记为\(r\)，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为\(n\)，则聚合后释放的能量为\(m \times r \times n\)（\(Mars\)单位），新产生的珠子的头标记为\(m\)，尾标记为\(n\)。

需要时，\(Mars\)人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设\(N=4\)，\(4\)颗珠子的头标记与尾标记依次为\((2,3) (3,5) (5,10) (10,2)\)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，\((j⊕k)\)表示第\(j,k\)两颗珠子聚合后所释放的能量。则第\(4\)、\(1\)两颗珠子聚合后释放的能量为：

\((4⊕1)=10 \times 2 \times 3=60\)。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

\(((4⊕1)⊕2)⊕3）=10 \times 2 \times 3+10 \times 3 \times 5+10 \times 5 \times 10=710\)。

输入格式

第一行是一个正整数\(N(4≤N≤100)\)，表示项链上珠子的个数。第二行是\(N\)个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过\(1000\)。第\(i\)个数为第\(i\)颗珠子的头标记\((1≤i≤N)\)，当\(i<N\)时，第\(i\)颗珠子的尾标记应该等于第\(i+1\)颗珠子的头标记。第\(N\)颗珠子的尾标记应该等于第\(1\)颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

一个正整数\(E(E≤2.1 \times (10)^9)\)，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

输入输出样例

输入 #1

4

2 3 5 10

输出 #1

710

说明/提示

NOIP 2006 提高组 第一题

【思路】

区间DP

【题目分析】

先看题目

是能量项链

项链是什么

就是一个圈，一个环

所以这里面的最后一个是和第一个紧挨着的

这就需要特殊处理了

【处理圈】

怎么处理圈呢？

将这个链复制一下放在这个链的后面

那么n就可以和n+1合并起来了

这样用区间DP求出区间最大值

【核心思路】

到时候在比较一下以1-n那一个点作为开头

区间大小为n的区间长度最大

输出最大值就好了

因为把前面这个区间复制到了后面

所以比如从2开始到n+1

其实n+1就是1

所以原数是不会变化的

方向区间DP就可以

【提示】

还有一些小细节在代码里面

【完整代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;
const int Max = 204;
int a[Max];
int f[Max][Max];
int l[Max],r[Max];//记录一个点的头标记和尾标记对应的数
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for(register int i = 1;i <= n;++ i)
		cin >> a[i],a[i + n] = a[i];
	for(register int i = 1;i <= 2 * n;++ i)
		l[i] = a[i],r[i] = a[i + 1];
	for(register int i = 1;i <= 2 * n;++ i)
	{
		for(register int j = 1;j + i - 1 <= 2 * n;++ j)
		{
			int k = j + i - 1;
			for(register int ll = j;ll < k;++ ll)
				f[j][k] = max(f[j][k],f[j][ll] + f[ll + 1][k] + l[j] * r[ll] * r[k]);//原本的的值，和由j-ll和ll-k这两个区间合并起来之后的值哪一个更优
		}
	}
	int M = 0;
	for(register int i = 1;i <= n;++ i)
		M = max(M,f[i][i + n - 1]);//比较以哪个开头更优
	cout << M << endl;
	return 0;
}