[BJOI2019] 删数 [dp转贪心结论+线段树]

题面

传送门

思路

dp部分

以下称合法序列为原题面中可以删空的序列

这个是我在模拟考场上的思路

一开始我是觉得，这个首先可以写成一个dp的形式：$dp[i][j]$表示用$j$个数字填满了目标序列的前$i$需要的步数

然后，发现只有$dp[i][i]$有意义，所以优化为$dp[i]$表示达成了构成长度为$i$的序列需要的最小步数

猜一个转移方程：$dp[i]=min_{j\in[1,i-1]}(dp[j]+max(0,(i-j)-num[i])$

这里$num[i]$表示当前询问的序列中数字$i$的出现次数，就是一个桶

转移方程的意义就是在一个长度为$j$的合法序列（下称$j$序列）后面接上$i-j$个$i$正确性证明如下：

首先，我们可以把原序列中所有等于$i$的数字直接用上，够了就不用变新的，不够了就从别的数字那里拿一些变过来补上

问题：如何确定数字等于$i$的没有在前面的$j$序列中被转移过去？

可以发现这里不需要考虑这种情况：转移过去的只需要是和在前面需要的数大小不一样的

$i$显然不和$j$序列中任何一个数相等，所以即使用过了$i$，也可以随便挑一个$i$以外的代替$i$进去前面

然后因为最终一共$n$个数填长度为$n$的序列，数总是够用的，所以这就完成了$dp$转移正确性的证明

这样可以获得47分

贪心部分

上面那个结论其实还有用处：它是贪心做法的基础

可以发现只有在$[1,n]$区间内的数是“有用”，即有可能不需要改变就可以放进合法序列里的

我们考虑这些数的“有用性”，发现：对于$j$个$i$,里面最多有$i$个是有用的

同时，如果有两种数$i<j$，令$k=j-i$，若值为$j$的数的数量大于$k$，那么这里$j$和$i$就会“冲突”，也就是$i$和以下的一小段位置只有一种数可以不修改放进去

形式化地来说，设值为$i$的数字有$cnt[i]$个，那么它们可以覆盖区间$[i-cnt[i]+1,i]$

显然，区间$[1,n]$内没有被覆盖的位置总数，就是这个询问的答案

数据结构优化

显然我们可以通过线段树维护最小值和最小值个数来解决这个问题

考虑两种修改

第一种修改是修改两个区间的长度，就是两次单点修改而已

第二种修改可以相当于平移询问区间

这里要注意：只有值在询问区间里的位置才能往前覆盖

也就是说，假设我询问的是$[2,5]$，原序列里面有$3$个$6$，那这些6都没有用

所以需要在第二种修改的时候看看会不会加入or删除整个区间

实现上因为可能会减到负数，负数还能往下覆盖，所以一共开长度为$2n+2m$的线段树，初始0位置$n+m$

Code

这代码写的我好气啊

终端里面写完代码，:wq退出vim，然后习惯性按两下上箭头用gedit t1.cpp打开代码往虚拟机外面复制

结果按两下向上却执行了从外部copy模板到t1.cpp，然后写好的代码就被覆盖了......

然后我手忙脚乱，想重新打开编译好的执行文件，结果又不小心按上执行了编译命令，编译一个没有main()的模板

随着编译器提示编译失败，我原来的可执行程序也消失了......decompile都莫得机会

只好重新写一遍......

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
	int re=0,flag=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-') flag=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)) re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return re*flag;
}
int n,m,a[1000010],cnt[1000010],ori[1000010],pos;
struct ele{//合并用的线段树元素，query的时候很方便，merge就好了
	int minn,cnt;
	ele(int mm=0,int cc=0){minn=mm;cnt=cc;}
	friend inline ele merge(const ele &a,const ele &b){
		ele re;re.minn=min(a.minn,b.minn);
		if(re.minn==a.minn) re.cnt+=a.cnt;
		if(re.minn==b.minn) re.cnt+=b.cnt;
		assert(re.minn>=0);
		return re;
	}
}seg[2000010];int tag[2000010];//有区间修改，加lazytag
inline void pushtag(int num,int w){seg[num].minn+=w;tag[num]+=w;assert(seg[num].minn>=0);}
inline void push(int l,int r,int num){
	if(l==r||!tag[num]) return;
	pushtag(num<<1,tag[num]);
	pushtag(num<<1|1,tag[num]);
	tag[num]=0;
}
inline void build(int l,int r,int num){
	if(l==r){seg[num]=ele(ori[l],1);return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(l,mid,num<<1);build(mid+1,r,num<<1|1);
	seg[num]=merge(seg[num<<1],seg[num<<1|1]);
}
inline void change(int l,int r,int num,int pos,int w){
	if(l==r){seg[num].minn+=w;return;}
	int mid=(l+r)>>1;push(l,r,num);
	if(mid>=pos) change(l,mid,num<<1,pos,w);
	else change(mid+1,r,num<<1|1,pos,w);
	seg[num]=merge(seg[num<<1],seg[num<<1|1]);
}
inline void add(int l,int r,int ql,int qr,int num,int w){
	if(l>=ql&&r<=qr){pushtag(num,w);return;}
	int mid=(l+r)>>1;push(l,r,num);
	if(mid>=ql) add(l,mid,ql,qr,num<<1,w);
	if(mid<qr) add(mid+1,r,ql,qr,num<<1|1,w);
	seg[num]=merge(seg[num<<1],seg[num<<1|1]);
}
inline ele query(int l,int r,int ql,int qr,int num){
	if(l>=ql&&r<=qr) return seg[num];
	int mid=(l+r)>>1;ele re(2e9,0);push(l,r,num);
	if(mid>=ql) re=merge(re,query(l,mid,ql,qr,num<<1));
	if(mid<qr) re=merge(re,query(mid+1,r,ql,qr,num<<1|1));
	return re;
}
int main(){
	n=read();m=read();int i,t1,t2,j,tot=n+n+m+m;ele ans;
	pos=n+m;
	for(i=1;i<=n;i++) cnt[(a[i]=read()+pos)]++;
	for(i=1;i<=tot;i++) if(cnt[i])
		for(j=i;j>i-cnt[i];j--) ori[j]++;
	build(1,tot,1);
	while(m--){
		t1=read();t2=read();
		if(t1){
            //直接维护，注意不在目前范围内的位置不要change！！！
			t2+=pos;
			cnt[a[t1]]--;ori[a[t1]-cnt[a[t1]]]--;
			if(a[t1]<=pos+n&&a[t1]>pos) change(1,tot,1,a[t1]-cnt[a[t1]],-1);
			a[t1]=t2;
			if(a[t1]<=pos+n&&a[t1]>pos) change(1,tot,1,a[t1]-cnt[a[t1]],1);
			ori[a[t1]-cnt[a[t1]]]++;cnt[a[t1]]++;
		}
		else{
            //查看是否有区间需要加入or删除！！！
			if(~t2){
				pos--;
				if(cnt[pos+n+1]) add(1,tot,pos+n+1-cnt[pos+n+1]+1,pos+n+1,1,-1);
				if(cnt[pos+1]) add(1,tot,pos+1-cnt[pos+1]+1,pos+1,1,1);
			}
			else{
				pos++;
				if(cnt[pos+n]) add(1,tot,pos+n-cnt[pos+n]+1,pos+n,1,1);
				if(cnt[pos]) add(1,tot,pos-cnt[pos]+1,pos,1,-1);
			}
		}
		ans=query(1,tot,pos+1,pos+n,1);
		if(ans.minn) puts("0");
		else printf("%d\n",ans.cnt);
	}
}