BZOJ_4591_[Shoi2015]超能粒子炮·改_Lucas定理

BZOJ_4591_[Shoi2015]超能粒子炮·改_Lucas定理

Description

曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明：超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加

强大的粒子流的神秘装置。超能粒子炮·改相比超能粒子炮，在威力上有了本质的提升。它有三个参数n，k。它会

向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流。现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数，让你求

其发射的粒子流的威力之和模2333。

Input

第一行一个整数t。表示数据组数。

之后t行，每行二个整数n，k。含义如题面描述。

k<=n<=10^18，t<=10^5

Output

t行每行一个整数，表示其粒子流的威力之和模2333的值。

Sample Input

1
5 5

Sample Output

32

---

 

$f(n,k)=\sum\limits_{i=0}^{k}C(n,i)$

$=\sum\limits_{i=0}^{k} C(n$%$p,i$%$p)\times C(n/p,i/p)$

设$a=\lfloor k/p \rfloor ,b=k$%$p$

$=\sum\limits_{i=0}^{ap-1}C(n$%$p,i$%$p)\times C(n/p,i/p)+\sum\limits_{i=ap}^{ap+b}C(n$%$p,i$%$p)\times C(n/p,i/p)$

$=\sum\limits_{i=0}^{p-1}C(n$%$p,i)\times \sum\limits_{i=0}^{a-1}C(n/p,i)+C(n/p,a)\times \sum\limits_{i=0}^{b}C(n$%$p,b)$

$=f(n$%$p,p-1)* f(n/p,a-1)+C(n/p,a)* f(n$%$p,b)$

递归求解即可。

 

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 2550
typedef long long ll;
const int mod=2333;
int c[N][N],f[N][N];
void init() {
    int i,j;
    for(i=0;i<=mod;i++) c[i][0]=f[i][0]=1;
    for(i=0;i<=mod;i++) {
        for(j=1;j<=i;j++) {
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
            f[i][j]=(f[i][j-1]+c[i][j])%mod;
        }
        for(j=i+1;j<=mod;j++) f[i][j]=f[i][j-1];
    }
}
int Lucas(ll n,ll m) {
    if(n<m) return 0;
    if(n<mod&&m<mod) return c[n][m];
    return Lucas(n/mod,m/mod)*Lucas(n%mod,m%mod)%mod;
}
int solve(ll n,ll k) {
    ll a=k/mod;int b=k%mod;
    if(k<mod) return f[n%mod][k];
    return (solve(n%mod,mod-1)*solve(n/mod,a-1)%mod+Lucas(n/mod,a)*solve(n%mod,b)%mod)%mod;
}
int main() {
    init();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    ll n,k;
    while(T--) {
        scanf("%lld%lld",&n,&k);
        printf("%d\n",solve(n,k));
    }
}