【HDU 1588】 Gauss Fibonacci

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【算法】

要求

f(g(0)) + f(g(1)) + f(g(2)) + ... + f(g(n-1))

因为g(i) = k * i + b

所以原式 = f(b) + f(k+b) + f(2k+b) + .... + f((n-1)k+b)

令矩阵A = {1,1,0,1}（求斐波那契数的矩阵）

那么，式子就可以写成A^b + A^(k + b) + A ^ (2k + b) + .... + A ^ ((n - 1)k + b)

因为矩阵符合乘法分配律，所以可以将A^b提出，式子被写成 :

A ^ b( E + A ^ k + A ^ 2k + ... + A ^ (n - 1)k ) (其中E为2阶单位阵）

令矩阵S = A ^ k

那么式子就被进一步化简为 ： A^b( S^0 + S^1 + S^2 + .. + S^(n-1) )

A^b可以通过矩阵乘法快速幂求出

而后面的S^0 + S^1 + S ^ 2 + ... S^(n-1)则可以通过二分求解（也就是POJ 3233的方法）

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int n,b,k,m;
struct Matrix
{
        long long mat[][];
} A,E,ans,s;
 
inline Matrix mul(Matrix a,Matrix b)
{
        int i,j,k;
        Matrix ans;
        memset(ans.mat,,sizeof(ans.mat));
        for (i = ; i <= ; i++)
        {
                for (j = ; j <= ; j++)
                {
                        for (k = ; k <= ; k++)
                        {
                                ans.mat[i][j] = (ans.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % m;
                        }
                }
        }
        return ans;
}
inline Matrix add(Matrix a,Matrix b)
{
        int i,j;
        Matrix ans;
        memset(ans.mat,,sizeof(ans.mat));
        for (i = ; i <= ; i++)
        {
                for (j = ; j <= ; j++)
                {
                        ans.mat[i][j] = (a.mat[i][j] + b.mat[i][j]) % m;
                }
        }
        return ans;
}
inline Matrix power(Matrix a,int n)
{
        int i,j;
        Matrix ans,p = a;
        for (i = ; i <= ; i++)
        {
                for (j = ; j <= ; j++)
                {
                        ans.mat[i][j] = (i == j);
                }
        }
        while (n > )
        {
                if (n & ) ans = mul(ans,p);
                p = mul(p,p);
                n >>= ;
        }
        return ans;
}
inline Matrix solve(Matrix a,int n)
{
        Matrix tmp;
        if (n == ) return a;
        if (n %  == ) return add(solve(a,n-),power(a,n));
        else
        {
                tmp = solve(a,n/);
                return add(tmp,mul(power(a,n/),tmp));
        }
}
 
int main() {
 
        E.mat[][] = ; E.mat[][] = ;
        E.mat[][] = E.mat[][] = ;
        while (scanf("%d%d%d%d",&k,&b,&n,&m) != EOF)
        {
                A.mat[][] = A.mat[][] = A.mat[][] = ;
                A.mat[][] = ;
                s = power(A,k);
                ans = mul(power(A,b),add(E,solve(s,n-)));
                printf("%lld\n",ans.mat[][]);
        }
 
        return ;
 
}