CF 997E 解题报告

CF997E Good Subsegments

给你一个长度为\(n\)的排列 \(P\)，定义一段子区间是好的，当且仅当这个子区间内的值构成了连续的一段。例如对于排列\(\{1,3,2\}\)，\([1,1],[2,2],[3,3],[2,3],[1,3]\)是好的区间。

共\(q\)次询问，每次询问\(L,R\)， 求有多少\(L≤l≤r≤R\)，满足\([l,r]\)是好的区间。\(1≤n,q≤1.2×10^5\).

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积累一个套路：对于询问区间子序列的信息，可以离线移动右指针，类似扫描线一样计算贡献。

注意到若区间\([l,r]\)满足\(max-min=r-l\)，则这个区间是好的区间。

于是在当前指针\(r\)下维护一个\((max-min)-(r-l)\)的最小值以及最小值个数。

然后维护一个答案\(sum\)，代表某个区间最小值的贡献（注意这时候不需要维护是不是\(0\)，我们只需要在最后累计答案的时候在树根判断就可以了，这个题根一定为\(0\)，所以没有判）

但是发现这样不行，我们只是维护了一个右端点为\(r\)的区间的贡献，于是维护一个\(dev\)贡献数组，维护历史出现的最小值出现的贡献。

具体点说，\(dev\)也相当于一个\(tag\)，表示这个区间当前的答案需要被贡献到\(sum\)，不管它之后怎么样。

然后区间\(max,min\)的相关东西用单调栈额外维护，复杂度是均摊的\(\log n\)

一次操作的大体流程：

1. 对整个区间打一个右移标记，即区间最小值减\(1\)
2. 维护单调栈并更新一下\(max,min\)
3. 打上历史更新\(tag\)
4. 进行询问

一些细节：初始时每个区间的\(mi\)是它自己的左端点，因为每次是对整颗树的区间打的标记，会减去很多次\(1\)，下放标记的时候更新答案看是不是跟自己一样，如果子区间最小值跟自己一样才进行更新。

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
const int N=120010;
using std::min;
int mi[N<<2],ct[N<<2],mitg[N<<2],dev[N<<2];
//最小值,最小值次数,最小值tag,历史贡献tag
ll ans[N],sum[N<<2];
int sta1[N],tot1,sta2[N],tot2;
int n,m,p[N];
struct node
{
    int id,l,r;
    bool friend operator <(node n1,node n2){return n1.r<n2.r;}
}q[N];
#define ls id<<1
#define rs id<<1|1
void build(int id,int l,int r)
{
    mi[id]=l,ct[id]=1;int mid=l+r>>1;
    if(l^r) build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
}
void addmi(int id,int d){mi[id]+=d,mitg[id]+=d;}
void addde(int id,int d){sum[id]+=1ll*ct[id]*d,dev[id]+=d;}
void updata(int id)
{
    mi[id]=min(mi[ls],mi[rs]),ct[id]=0;
    ct[id]=mi[id]==mi[ls]?ct[id]+ct[ls]:ct[id];
    ct[id]=mi[id]==mi[rs]?ct[id]+ct[rs]:ct[id];
    sum[id]=sum[ls]+sum[rs];
}
void pushdown(int id)
{
    if(mitg[id]) addmi(ls,mitg[id]),addmi(rs,mitg[id]),mitg[id]=0;
    if(dev[id])
    {
        if(mi[id]==mi[ls]) addde(ls,dev[id]);
        if(mi[id]==mi[rs]) addde(rs,dev[id]);
        dev[id]=0;
    }
}
void change(int id,int L,int R,int l,int r,int d)
{
    if(l==L&&r==R){addmi(id,d);return;}
    int Mid=L+R>>1;pushdown(id);
    if(r<=Mid) change(ls,L,Mid,l,r,d);
    else if(l>Mid) change(rs,Mid+1,R,l,r,d);
    else change(ls,L,Mid,l,Mid,d),change(rs,Mid+1,R,Mid+1,r,d);
    updata(id);
}
ll query(int id,int L,int R,int l,int r)
{
    if(l==L&&r==R)return sum[id];
    int Mid=L+R>>1;pushdown(id);
    if(r<=Mid) return query(ls,L,Mid,l,r);
    else if(l>Mid) return query(rs,Mid+1,R,l,r);
    else return query(ls,L,Mid,l,Mid)+query(rs,Mid+1,R,Mid+1,r);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",p+i);
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r),q[i].id=i;
    std::sort(q+1,q+1+m);
    build(1,1,n);
    for(int j=1,i=1;i<=n;i++)
    {
        addmi(1,-1);
        while(tot1&&p[sta1[tot1]]<=p[i])
        {
            change(1,1,n,sta1[tot1-1]+1,sta1[tot1],p[i]-p[sta1[tot1]]);
            --tot1;
        }
        sta1[++tot1]=i;
        while(tot2&&p[sta2[tot2]]>=p[i])
        {
            change(1,1,n,sta2[tot2-1]+1,sta2[tot2],p[sta2[tot2]]-p[i]);
            --tot2;
        }
        sta2[++tot2]=i;
        addde(1,1);
        while(q[j].r==i) ans[q[j].id]=query(1,1,n,q[j].l,q[j].r),++j;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
    return 0;
}

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2018.12.25