【刷题】BZOJ 1977 [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

Description

小 C 最近学了很多最小生成树的算法，Prim 算法、Kurskal 算法、消圈算法等等。 正当小 C 洋洋得意之时，小 P 又来泼小 C 冷水了。小 P 说，让小 C 求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说： 如果最小生成树选择的边集是 EM，严格次小生成树选择的边集是 ES，那么需要满足：(value(e) 表示边 e的权值)



这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

Input

第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

Output

包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

Sample Input

5 6

1 2 1

1 3 2

2 4 3

3 5 4

3 4 3

4 5 6

Sample Output

11

HINT

数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。

Solution

一开始一直没搞懂次小生成树的定义，其实就是所有生成树的值从小到大排个序，第一的就是MST，那第二的就是次小生成树了

然后对于严格最小生成树，就是排序的时候还要去重

那这题怎么做？

求一个MST，然后枚举每一条边，看这条边如果强行插进去，生成树的权值会加多少，取最少的那个就行了。但增加量显然不能是0，不然就不严格了

所以用LCT维护MST，有新的边插入时，chkmin增量。由于这条边的边权可能跟MST中最大边的边权相等，这样增量就是0了，显然不合法。那就在LCT里再维护一个次大值（严格与最大值不同），这样当新的边与MST的最大边边权相同时，就换次大边

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
const int MAXN=100000+10,MAXM=300000+10;
int n,m,fa[MAXN];
ll lst,ext=1e18;
struct edge{
	int u,v,w;
	inline bool operator < (const edge &A) const {
		return w<A.w;
	};
};
edge side[MAXM];
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
#define lc(x) ch[(x)][0]
#define rc(x) ch[(x)][1]
struct LCT{
	int ch[MAXN+MAXM][2],fa[MAXN+MAXM],Mx[MAXN+MAXM],SMx[MAXN+MAXM],rev[MAXN+MAXM],stack[MAXN+MAXM],val[MAXN+MAXM],cnt;
	inline bool nroot(int x)
	{
		return lc(fa[x])==x||rc(fa[x])==x;
	}
	inline void reverse(int x)
	{
		std::swap(lc(x),rc(x));
		rev[x]^=1;
	}
	inline void pushup(int x)
	{
		if(Mx[lc(x)]>Mx[rc(x)])Mx[x]=Mx[lc(x)],SMx[x]=max(Mx[rc(x)],SMx[lc(x)]);
		else if(Mx[lc(x)]<Mx[rc(x)])Mx[x]=Mx[rc(x)],SMx[x]=max(Mx[lc(x)],SMx[rc(x)]);
		else Mx[x]=Mx[lc(x)],SMx[x]=max(SMx[lc(x)],SMx[rc(x)]);
		if(val[x]>Mx[x])SMx[x]=Mx[x],Mx[x]=val[x];
		else if(val[x]!=Mx[x])chkmax(SMx[x],val[x]);
	}
	inline void pushdown(int x)
	{
		if(rev[x])
		{
			if(lc(x))reverse(lc(x));
			if(rc(x))reverse(rc(x));
			rev[x]=0;
		}
	}
	inline void rotate(int x)
	{
		int f=fa[x],p=fa[f],c=(rc(f)==x);
		if(nroot(f))ch[p][rc(p)==f]=x;
		fa[ch[f][c]=ch[x][c^1]]=f;
		fa[ch[x][c^1]=f]=x;
		fa[x]=p;
		pushup(f);
		pushup(x);
	}
	inline void splay(int x)
	{
		cnt=0;
		stack[++cnt]=x;
		for(register int i=x;nroot(i);i=fa[i])stack[++cnt]=fa[i];
		while(cnt)pushdown(stack[cnt--]);
		for(register int y=fa[x];nroot(x);rotate(x),y=fa[x])
			if(nroot(y))rotate((lc(y)==x)==(lc(fa[y])==y)?y:x);
		pushup(x);
	}
	inline void access(int x)
	{
		for(register int y=0;x;x=fa[y=x])splay(x),rc(x)=y,pushup(x);
	}
	inline void makeroot(int x)
	{
		access(x);splay(x);reverse(x);
	}
	inline void split(int x,int y)
	{
		makeroot(x);access(y);splay(y);
	}
	inline void link(int x,int y)
	{
		makeroot(x);fa[x]=y;
	}
};
LCT T;
#undef lc
#undef rc
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char c='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(c!='\0')putchar(c);
}
inline int found(int x)
{
	if(fa[x]!=x)fa[x]=found(fa[x]);
	return fa[x];
}
int main()
{
	read(n);read(m);
	for(register int i=1;i<=n;++i)fa[i]=i;
	for(register int i=1;i<=m;++i)read(side[i].u),read(side[i].v),read(side[i].w);
	std::sort(side+1,side+m+1);
	for(register int i=1,x,y,sn;i<=m;++i)
	{
		x=found(side[i].u),y=found(side[i].v);
		sn=n+i;
		if(x!=y)
		{
			fa[x]=y;
			lst+=side[i].w;
			T.val[sn]=T.Mx[sn]=side[i].w;
			T.link(sn,side[i].u);T.link(sn,side[i].v);
		}
		else
		{
			T.split(side[i].u,side[i].v);
			chkmin(ext,side[i].w-(ll)(side[i].w>T.Mx[side[i].v]?T.Mx[side[i].v]:T.SMx[side[i].v]));
		}
	}
	write(lst+ext,'\n');
	return 0;
}