Noip数学整理

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Noip数学整理

序

因为某些原因， Noip对于数学方面的考纲仅停留在比较小的一部分，而这一部分在平常的做题中接触较少我做的题目太少，为了防止NOIP爆炸，整理一些Noip的数学知识还是有用的。

1 取模相关

n%p所得结果的正负由n决定，与p无关。如：7%4=3，-7%4=-3，-7%-4=-3 ---xun学姐
欧拉定理 $\alpha^{\phi(p)} \equiv 1 mod(p)$
当p为质数的特殊情况 $\alpha^{p - 1} \equiv 1 $
Noip2014式取模，如果f(x) = 0, 那么f(x) % p = 0, 在式子中带入数字看脸计算。
常数较小的取模方式

void upd(int &x, int y)

{

    x += y, x -= x >= mod ? mod : x;

}

2 质数相关

质数判定

根号判断比较稳

bool check(int x)

{

    for(int i = 2; i * i <= x; i++)

        if(x % i == 0)return false;

    return true;

}

Miller robin比较骚$-------$chentongfei

bool check(int x)

{

    for(int i = 1; i <= 20; i++)

    {

        int op = read() % x + 1;

        while(op == x) op = rand() % x + 1;

        if(poww(op, x - 1, x) != 1) return false;

    }

    return true;

}

线性筛比较经典



void shai()

{

    isnt[1] = true;

    for(int i = 2; i <= n; i++)

    {

        if(!isnt[i]) sta[++tp] = i;

        for(int j = 1; j <= tp && i * sta[j] <= n; j++)

        {

            isnt[i * sta[j]] = true;

            if(i % sta[j] == 0) break;

        }

    }

}

区间筛比较没用

void shai(ll l, ll r)

{

    for(int i = 2; i * i <= r; i++)

    {

        if(!isnt[i])

        {

            for(int j = 2 * i; j * j<= r; j += i) isnt[j] = true;

            for(ll j = max(2ll, (l + i - 1) / i ) * i; j <= r; j += i) vis[j - l] = true;

        }

    }

    for(ll i = 0; i <= b - a; i++) if(!vis[i]) sta[++tp] = i + a;

}

质数应用

用来取模

3.基本操作

快速幂 or 慢速乘

？？？
O1快速乘吼啊

inline long long multi(long long x,long long y,long long mod) {

	long long tmp=(x*y-(long long)((long double)x/mod*y+1.0e-8)*mod);

	return tmp<0 ? tmp+mod : tmp;

}

逆元

费马小定理

一定要检查一下模数是不是质数啊啊啊啊

exgcd求逆元

$a * b \equiv 1\; mod\; m\Rightarrow a * b - m * y = 1$ 如果解出$gcd(a, m) = 1$，那么就存在逆元了

int inv(int a, int p)

{

    int x, y;

    int tmp = gcd(a, p, x, y);

    if(tmp != 1) return false;

    return (x + p) % p;

}

质因数分解

根号算法

枚举到根号大小就能找出所有质因子了

pollard-Robin

基于随机化，鸽笼定理， floyd判环的算法
写起来挺舒适的



bool robin_miller(ll n) { //判断是否素数

	if(n < 2)    return false;

	if(n == 2)  return true;

	if(!(n & 1))    return false;

	ll u = n - 1, t = 0;

	while(!(u & 1)) u >>= 1, t++;

	if(t >= 1 && (u & 1) == 1) {

		for(int i = 0; i < s; i++) {

			ll a = rand() % (n-1) + 1;

			if(witness(a, n, u, t)) return false;   //不是素数

		}

	}

	return true;    //是素数

}

ll gcd(ll a, ll b) {

	if(a == 0)  return 1;

	if(a < 0)    return gcd(-a, b);

	while(b) {

		ll t = a % b;

		a = b;

		b = t;

	}

	return a;

}

ll pollard_rho(ll x, ll c) {

	ll i = 1, x0 = rand() % x;

	ll y = x0;

	ll k = 2;

	for(;;) {

		i++;

		x0 = (multi_mod(x0, x0, x) + c) % x;

		ll d = gcd(y - x0, x);

		if(d != 1 && d != x) return d;

		if(y == x0) return x;

		if(i == k) {

			y = x0;

			k += k;

		}

	}

}

void find_fac(ll n) {

	if(n == 1)    return;

	if(robin_miller(n)) {

		prime_factor.push_back(n);

		return;

	}

	ll p = n;

	while(p >= n) p = pollard_rho(p, rand() % (n-1) + 1);

	find_fac(p);

	find_fac(n / p);

}

4.方程相关

不定方程

扩展欧几里得求同余方程 $ax + by = \gcd(a, b)$

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)

{

    if(!b)

    {

        x = 1, y = 0;

        return a;

    }

    int ans = exgcd(b, a % b, x, y), tmp = x;

    x = y, y = tmp - a / b * y;

    return ans;

}

得到的解只是一组 $ax + by = g$，让$x += g / b, y -= g/a$依旧成立
所以通解可以表示成$x = x_1 + \frac{b}{\gcd(a,b)}, y = y_1 + \frac{a}{gcd(a, b)}$
对于求解$ax + by = c$的同余方程，首先判断c是否是$\gcd(a, b)$的倍数，不是的话则无解
然后求出$ax + by = \gcd(a, b)$ 的一组解，之后让xy都乘以 $g / \gcd(a, b)$即可

线性同余方程组

互质情况：中国剩余定理
求解

\[x \equiv a_1\; mod\; m_1
\]

\[x \equiv a_2\; mod\; m_2
\]

\[x \equiv a_3\; mod\; m_3
\]

\[x \equiv a_4\; mod\; m_4
\]

得到的通解可以表示成

\[x = kM + \sum_{i = 1}^{n}a_it_iM_i
\]

其中$k \in Z\; M = \prod m_i\; M_i = \frac{M}{M_i}\; t_i = M_i^{-1}\; mod m_i$



int cn(int n)

{

    int sum = 1, ans = 0, x, y;

    for(int i = 1; i <= n; i++) sum *= m[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++)

    {

        int op = sum / m[i];

        int zz = exgcd(op, m[i], x, y);

        ans = (ans + g[i] * op * x) % sum;

    }

    return (sum + ans) % sum;

}

不互质情况，扩展中国剩余定理
感觉和中国剩余定理不是很相似，主要是基于方程的合并
首先考虑两个同余方程

\[x \equiv a_1\; mod\; m_1\\
x \equiv a_2\; mod\; m_2
\]

化成另一个形式

\[x = n_1 * m_1 + a_1\\
x = n_2 * m_2 + a_2
\]

联立可得

\[n_1 * m_1 + a_1 = n_2 * m_2 + a_2\\
n_1 * m_1 - n_2 * m_2 = a_2 - a_1
\]

有解的前提是

\[\gcd(m_1, m_2) |(a_2 - a_1)
\]

\[d = \gcd(m_1, m_2)\\
c = a_2 - a_1
\]

\[n_1 \frac{m_1}{d} - n_2 \frac{m_2}{d} = \frac{c}{d}\\
n_1 \frac{m_1}{d} \equiv \frac{c}{d} \ mod \ \frac{m_2}{d}
\]

移项

\[n_1 \equiv \frac{c}{d} * inv(\frac{m_1}{d}, \frac{m_2}{d}) \ mod\ \frac{m_2}{d}\\
n_1 = \frac{c}{d} * inv(\frac{m_1}{d}, \frac{m_2}{d}) + y_1 * \frac{m_2}{d}
\]

然后$n_1$代入最上面的狮子可以得到

\[x = (\frac{c}{d} * inv(\frac{m_1}{d}, \frac{m_2}{d}) + y_1 * \frac{m_2}{d}) * m_1 + a_1\\
x = m_1 * \frac{c}{d} * inv(\frac{m_1}{d}, \frac{m_2}{d}) + y_1 * \frac{m_2 m_1}{d} + a_1\\
x \equiv m_1 * \frac{c}{d} * inv(\frac{m_1}{d}, \frac{m_2}{d}) + a_1 \ mod \ \frac{m_2 m_1}{d}
\]

然后就是个新方程了
当然也适用于互质情况
板子

int ex_crt()

{

    int a1 = a[1], m1 = m[1], a2, m2;

    for(int i = 2; i <= n; i++)

    {

        a2 = a[i], m2 = m[i];

        int c = a2 - a1;

        int d = gcd(m2, m1);

        if(c%d) return -1;

        ll k = inv(m1 / d, m2 / d);

        a1 = a1 * c / d * k + a1;

        m1 = m1 * m2 / d;

    }

    return a1;

}

裴蜀定理

对于方程 $ax + by = c$ 有解当且仅当 $\gcd(a,b) | c$ 可以扩展到多元，经常被出题人用来出套路题

5.数列相关

卡特兰数

前几项！！！！ $1\ 1\ 2\ 5\ 14\ 42\ 132$

递推式

\[C_n = \sum_{i = 1}^{n - 1} C_i * C_{n - i} \\
C_n = C_{n - 1} * (4n - 2)/ (n + 1)
\]

组合式

\[h(n) = C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n - 1}\\
h(n) = \frac{C_{2n}^{n}} { (n + 1)}
\]

意义

括号化问题。矩阵链乘： P=A1×A2×A3×……×An，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？
将多边行划分为三角形问题。将一个凸多边形区域分成三角形区域(划分线不交叉)的方法数
出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1、2、3、...、n，有多少个不同的出栈序列?
给顶节点组成二叉树的问题。

组合数

求法

杨辉三角

可更改性比较好，适用于非质数取模

阶乘法

预处理On，计算一次logn，需要On的空间

卢卡斯定理

适用于模数较小且为质数

\[Lucas(n, m, p) = C_{n \% p}^{m \% p} * Lucas(n/p, m/p, p)
\]

扩展卢卡斯

适用于模数较小非质数或者模数较大但是分解后因子较小
相当于我们对于模数分解后分别求出在mod某个数字下组合数是多少
然后使用crt合并就好了
当质因数分解不干净的时候，我们要求$Lucas(n, m, p^t)$这个也是个问题
这里利用循环节来统计阶乘中不含p因子的数字乘积，对于含p因子的提出来递归计算
Noip考这个我直播吃拖鞋
贴个板子

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int t,opt;

long long p[50],a[50];//存储质因数p的t次方,a存储CRT要用的余数

map<long long,long long> mp;

long long ji;

inline long long ksm(long long x,long long y,long long mod)

{

    long long res=1;

    while(y)

    {

        if(y&1)

        res=(res*x)%mod;

        x=(x*x)%mod;

        y>>=1;

    }

    return res;

}

inline void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)

{

    if(!b)

    {

        x=1;

        y=0;

    }

    else

    {

        exgcd(b,a%b,y,x);

        y-=a/b*x;

    }

}

inline long long inv(long long a,long long b)

{

    long long x=0,y=0;

    exgcd(a,b,x,y);

    x=(x%b+b)%b;

    if(!x)

    x+=b;

    return x;

}

inline long long cal(long long n,long long x,long long mod)//递归计算除了x的若干次方之外的部分(第一、第三部分)

{

    if(!n)

    return 1;

    long long ans=1;//提出来的那些不含因子x的乘积

    if(n/mod)//有整块的

    {

        for(int i=1;i<=mod;++i)

        {

            if(i%x)//不含因子x

            ans=ans*i%mod;

        }

        ans=ksm(ans,n/mod,mod);//有循环节，所以乘积用快速幂计算即可

    }

    for(int i=n/mod*mod+1;i<=n;++i)

    {

        if(i%x)

        ans=ans*i%mod;

    }

    return ans*cal(n/x,x,mod)%mod;//当前的不含因子x的乘积乘以递归下去求的剩余阶乘部分的结果

}

//计算出对于每一个质数的若干次方取模后的结果

inline long long exlucas(long long m,long long n,long long x,long long mod)//x是当前质数

{

    if(n>m)

    return 0;

    int cnt=0;

    for(int i=m;i;i/=x)

    cnt+=i/x;

    for(int i=n;i;i/=x)

    cnt-=i/x;

    for(int i=m-n;i;i/=x)

    cnt-=i/x;

    long long ans=ksm(x,cnt,mod)*cal(m,x,mod)%mod*inv(cal(n,x,mod),mod)%mod*inv(cal(m-n,x,mod),mod)%mod;

    return ans*(ji/mod)%ji*inv(ji/mod,mod)%ji;//CRT合并！

}

inline long long gcd(long long x,long long y)

{

    return y?gcd(y,x%y):x;

}

int main()

{

    scanf("%d",&t);

    while(t--)

    {

        scanf("%d",&opt);

        if(opt==1)

        {

            long long x,y,p;

            scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&p);

            printf("%lld\n",ksm(x,y,p));

        }

        else if(opt==2)

        {

            mp.clear();

            long long aa,b,p;

            int pd=0;

            scanf("%lld%lld%lld",&aa,&b,&p);

            if(b==1)

            {

                printf("0\n");

                pd=1;

            }

            if(pd==1)

            continue;

            long long d=gcd(aa,p),t=1,k=0;

            while(d!=1)

            {

                if(b%d)

                {

                    printf("Math Error\n");

                    pd=1;

                    break;

                }

                ++k;

                b/=d;

                p/=d;

                t=(t*(aa/d))%p;

                if(b==t)

                {

                    printf("%lld\n",k);

                    pd=1;

                    break;

                }

                d=gcd(aa,p);

            }

            if(pd==1)

            continue;

            long long m=ceil(sqrt(p)),ans;

            for(int j=0;j<=m;++j)

            {

                if(j==0)

                {

                    ans=b%p;

                    mp[ans]=j;

                    continue;

                }

                ans=(ans*aa)%p;

                mp[ans]=j;

            }

            long long x=ksm(aa,m,p);

            ans=t;

            for(int i=1;i<=m;++i)

            {

                ans=(ans*x)%p;

                if(mp[ans])

                {

                    x=i*m-mp[ans];

                    printf("%lld\n",x+k);

                    pd=1;

                    break;

                }

            }

            if(!pd)

            printf("Math Error\n");

        }

        else

        {

            long long x,y,mod;

            scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&mod);

            ji=mod;//mod就是CRT的那个因子乘积和！

            if(mod==1)

            {

                printf("0\n");

                continue;

            }

            memset(p,0,sizeof(p));

            memset(a,0,sizeof(a));

            int cnt=0;//记录质数个数

            for(int i=2;i*i<=mod;++i)

            {

                if(mod%i==0)

                {

                    p[++cnt]=1;

                    while(mod%i==0)

                    {

                        p[cnt]*=i;

                        mod/=i;//把当前因子除掉对看是否是后面数的倍数无影响

                    }

                    a[cnt]=exlucas(y,x,i,p[cnt]);

                }

            }

            if(mod>1)

            {

                p[++cnt]=mod;

                a[cnt]=exlucas(y,x,mod,mod);

            }

            long long res=0;

            for(int i=1;i<=cnt;++i)

            res=(res+a[i])%ji;

            printf("%lld\n",res);

        }

    }

    return 0;

}

常见模型和性质

奇偶性

当且仅当n & m == m时 $C_n^m$ 为奇数

插板法

n种元素，每种可选择任意次或者不选，共选m

\[C_{n +m - 1} ^{n - 1}
\]

全错排公式

\[f[i] = (i - 1)(f[i - 1] + f[i - 2])
\]

情况1:插入第i个元素时，前i-1个已经错位排好，则选择其中任意一个与第i个互换一定满足要求,选择方法共i-1种，前i-1位错排f[i-1]种，记f[i-1]*(i-1)
情况2:插入第i个元素时，前i-1个中恰有一个元素a[j]使得a[j]=j，其他i-2个错位排好，则将i与j交换，j在i-2位中的插入共i-1种，前i-2位错排f[i-2]种，记f[i-2]*(i-1)

6.函数相关

Noip函数？？？
貌似只有一次函数合二次函数了吧QAQ