解不定方程ax+by=m的最小解
给出方程a*x+b*y=c,其中所有数均是整数,且a,b,c是已知数,求满足那个等式的x,y值?这个方程可能有解也可能没解也可能有无穷多个解(注意:这里说的解都是整数解)?
既然如此,那我们就得找出有解和无解的条件!
先给出定理:方程a*x+b*y=c有解,当且仅当 c%gcd(a,b)=0。
定理的证明很容易,如下:
证明:
若c%gcd(a,b)=0,则一定存在一个整数K,有c=K*gcd(a,b), 而我们知道a*x+b*y=gcd(a,b)一定存在解(x1, y1),所以就有K*(a*x1 +b*y1 ) = K*gcd(a,b)------>a*K*x1 +b*K*y1 = c,得出解为:(K*x1 , K*y1 )。定理得证。
那么在a*x+b*y=c有解的情况下如何求解呢?
由上可知,a*x+b*y=c 与 a*x+b*y=K*gcd(a,b)是等价的。另外a*x+b*y=gcd(a,b)的一组解为 x1, y1。
令a1=a/gcd(a,b), b1=b/gcd(a,b),c1=c/gcd(a,b).
综上,我们可以得出x,y的一组解就是x1*c1, y1*c1(实际上这个解我们在上面的证明定理的过程中就可以得出这组解,只是我们要的是最小解,所以在此处给出),但是满足方程的解有无穷多个,在实际的解题中我们常常只要求其最小解。现以求x的最小解为例,至此我们已经求的一组解使得满足方程a*x+b*y=m,那么a*(x+n*b)+b*(y-n*a)=m显然也成立。可知x+n*b(n=....-2,-1,0,1,2....)就是方程x解集。存在一个k使得x+k*b>0,x的最小解就是(x+k*b)%b.若我们将方程两边同时除以gcd(a,b),则方程变为a1*x+b1*y=c1,同上分析可知。x的最小值就是(x+k*b1)%b1,由于b1<=b,故这个值定会小于等于之前我们认为最小值。在实际求解时常用while(x<0) x+=b来使得为正的条件满足。
另外给出所有解得公式,若x0,y0是该方程的一组整数解,那么该方程的所有整数解可表示为
X = x0+b/(a,b)*t;
Y = y0-a/(a,b)*t;
代码如下:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std; int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b==)
{
x=, y=;
return a;
}
int r = Exgcd(b, a%b, x, y);
int tp=x;
x = y;
y = tp-a/b*y;
return r;
} void Liner_qu(int a, int b, int c, int d, int &x, int &y)
{
a /= d, b/= d, c /= d;
x *= c; // 任意一解
y *= c;
int tx = x;
x %= b; //最小解,
if(x<=) x += (int)abs(b*1.0); //最小整数解
int k=(tx-x)/b;
y += k*a; //对应y的最小整数解
printf("%d %d\n", x, y);
} int main()
{
int a, b, c, d, x, y;
while(~scanf("%d%d%d", &a, &b, &c))
{
d = Exgcd(a, b, x, y);
if(a==&&b==&&c==) puts("1 -1");
else if((a==&&b==&&c) || c%d || (a&&b==&&c==))
puts("No solution");
else if(a&&b==)
printf("%d %d\n",c/a, -c/a);
else if(a==&&b)
printf("1 %d\n",c/b);
else
Liner_qu(a, b, c, d, x, y);
}
return ;
}
参考资料:百度百科
http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html
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