解不定方程ax+by=m的最小解
给出方程a*x+b*y=c,其中所有数均是整数,且a,b,c是已知数,求满足那个等式的x,y值?这个方程可能有解也可能没解也可能有无穷多个解(注意:这里说的解都是整数解)?
既然如此,那我们就得找出有解和无解的条件!
先给出定理:方程a*x+b*y=c有解,当且仅当 c%gcd(a,b)=0。
定理的证明很容易,如下:
证明:
若c%gcd(a,b)=0,则一定存在一个整数K,有c=K*gcd(a,b), 而我们知道a*x+b*y=gcd(a,b)一定存在解(x1, y1),所以就有K*(a*x1 +b*y1 ) = K*gcd(a,b)------>a*K*x1 +b*K*y1 = c,得出解为:(K*x1 , K*y1 )。定理得证。
那么在a*x+b*y=c有解的情况下如何求解呢?
由上可知,a*x+b*y=c 与 a*x+b*y=K*gcd(a,b)是等价的。另外a*x+b*y=gcd(a,b)的一组解为 x1, y1。
令a1=a/gcd(a,b), b1=b/gcd(a,b),c1=c/gcd(a,b).
综上,我们可以得出x,y的一组解就是x1*c1, y1*c1(实际上这个解我们在上面的证明定理的过程中就可以得出这组解,只是我们要的是最小解,所以在此处给出),但是满足方程的解有无穷多个,在实际的解题中我们常常只要求其最小解。现以求x的最小解为例,至此我们已经求的一组解使得满足方程a*x+b*y=m,那么a*(x+n*b)+b*(y-n*a)=m显然也成立。可知x+n*b(n=....-2,-1,0,1,2....)就是方程x解集。存在一个k使得x+k*b>0,x的最小解就是(x+k*b)%b.若我们将方程两边同时除以gcd(a,b),则方程变为a1*x+b1*y=c1,同上分析可知。x的最小值就是(x+k*b1)%b1,由于b1<=b,故这个值定会小于等于之前我们认为最小值。在实际求解时常用while(x<0) x+=b来使得为正的条件满足。
另外给出所有解得公式,若x0,y0是该方程的一组整数解,那么该方程的所有整数解可表示为
X = x0+b/(a,b)*t;
Y = y0-a/(a,b)*t;
代码如下:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std; int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b==)
{
x=, y=;
return a;
}
int r = Exgcd(b, a%b, x, y);
int tp=x;
x = y;
y = tp-a/b*y;
return r;
} void Liner_qu(int a, int b, int c, int d, int &x, int &y)
{
a /= d, b/= d, c /= d;
x *= c; // 任意一解
y *= c;
int tx = x;
x %= b; //最小解,
if(x<=) x += (int)abs(b*1.0); //最小整数解
int k=(tx-x)/b;
y += k*a; //对应y的最小整数解
printf("%d %d\n", x, y);
} int main()
{
int a, b, c, d, x, y;
while(~scanf("%d%d%d", &a, &b, &c))
{
d = Exgcd(a, b, x, y);
if(a==&&b==&&c==) puts("1 -1");
else if((a==&&b==&&c) || c%d || (a&&b==&&c==))
puts("No solution");
else if(a&&b==)
printf("%d %d\n",c/a, -c/a);
else if(a==&&b)
printf("1 %d\n",c/b);
else
Liner_qu(a, b, c, d, x, y);
}
return ;
}
参考资料:百度百科
http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html
解不定方程ax+by=m的最小解的更多相关文章
- POJ 2142 The Balance (解不定方程,找最小值)
这题实际解不定方程:ax+by=c只不过题目要求我们解出的x和y 满足|x|+|y|最小,当|x|+|y|相同时,满足|ax|+|by|最小.首先用扩展欧几里德,很容易得出x和y的解.一开始不妨令a& ...
- 用列主元消去法分别解方程组Ax=b,用MATLAB程序实现(最有效版)
数值分析里面经常会涉及到用MATLAB程序实现用列主元消去法分别解方程组Ax=b 具体的方法和代码以如下方程(3x3矩阵)为例进行说明: 用列主元消去法分别解方程组Ax=b,用MATLAB程序实现: ...
- 【线性代数】2-1:解方程组(Ax=b)
title: [线性代数]2-1:解方程组(Ax=b) toc: true categories: Mathematic Linear Algebra date: 2017-08-31 15:08:3 ...
- HDU 2669 Romantic 扩展欧几里德---->解不定方程
Romantic Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Su ...
- 解同余式ax ≡ c(mod m)
将式子变形为 ax-c=my 可以看出原式有解当且仅当线性方程ax-my=c有解 设g = gcd(a, m) 则所有形如ax-my的数都是g的倍数 因此如果g不整除c则原方程无解. 下面假设g整除c ...
- exgcd 解同余方程ax=b(%n)
ax=n(%b) -> ax+by=n 方程有解当且仅当 gcd(a,b) | n ( n是gcd(a,b)的倍数 ) exgcd解得 a*x0+b*y0=gcd(a,b) 记k=n/gc ...
- POJ 1061 青蛙的约会 扩展欧几里德--解不定方程
青蛙的约会 Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000K Total Submissions: 81606 Accepted: 14116 Descripti ...
- caioj 1153 扩展欧几里德算法(解不定方程)
模板题 注意exgcd函数要稍微记一下 #include<cstdio> #include<cctype> #include<algorithm> #define ...
- 欧几里德与扩展欧几里德算法 Extended Euclidean algorithm
欧几里德算法 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数. 基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd( ...
随机推荐
- 三组I/O复用模型的比较
概论: select.poll和epoll三组I/O复用系统调用,这3组系统调用都能同时监听多个文件描述符.它们将等待由timeout参数指定的超时时间,直到一个或者多个文件描述符上有事件发生时返回. ...
- java基础知识再学习--maven
maven 下载安装: Eclipse中创建maven项目: 查询jar包的坐标:search.maven.org 添加完一个jar包的依赖以后,这个jar包所依赖的其他jar包也被导入到项目的bui ...
- PHP获取文件后缀名的三种方法
如下: <? PHP获取文件后缀名的几种方法1: function get_file_type($filename){ $type = substr($filename, strrpos($fi ...
- 分治算法求乘方a^b 取余p(divide and conquer)
传统的计算方法为循环n个a相乘.时间复杂度为O(n). 如用分治算法,效率可提升至O(lgn). 结合recursive有 double pow(int a, int n){ ) ; ) return ...
- FP—Growth算法
FP_growth算法是韩家炜老师在2000年提出的关联分析算法,该算法和Apriori算法最大的不同有两点: 第一,不产生候选集,第二,只需要两次遍历数据库,大大提高了效率,用31646条测试记录, ...
- keil 中用函数指针调用函数的参数限制
NSIC中,通过函数指针调用的函数的参数的个数没有限制,但是KeilC对此有限制,至多3个参数.因为,KeilC编译时,无法通过函数指针找到该函数的局部数据段,也就无法通过局部数据段传递参数,只能通过 ...
- 导入旧数据需要 使用date插件
"@version" => "1", "@timestamp" => "2016-09-12T08:31:06.630 ...
- 【转】使用adb命令对手机进行截屏(截图)保存到电脑,SDCard
原文网址:http://blog.csdn.net/huangyabin001/article/details/29198367 adb shell /system/bin/screencap -p ...
- 【转】 树莓派学习笔记——I2C设备载入和速率设置
原文网址:http://blog.csdn.net/xukai871105/article/details/18234075 1.载入设备 方法1——临时载入设备 sudo modprobe -r i ...
- eclipsecdt添加自动补全功能
自动代码补全完全是一个改善生活质量的功能呀!cdt拥有自动代码补全功能,只是我们没有打开而已 1. 绑定快捷方式 1. windows -> preferences ->general-& ...