洛谷P4016负载平衡

题目

负载平衡问题是一个比较经典的网络流问题，但是该问题还有一个数学贪心法。

所以做这个题前，其实可以做一下均分纸牌问题。

均分纸牌问题

均分纸牌问题可以说是作为贪心的入门题。

做法

首先我们应当把原先的数都减上所有数的平均值，这样原数组就转化为了原数组和平均数的差。

这个题的思想也很简单，转化完毕之后，因为可以移到左右两边的位置上所以不妨只考虑后一堆，因为前一堆已经处理好了，所以可以暴力解决。每次移都加一个次数。如果该数组为0，就直接跳过。直到所有数组都移完之后，统计总的次数并输出即可。

\(Code\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, data[100100], sum, ave, ans;
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%d", &data[i]);
		ave += data[i];
	}
	ave /= n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		data[i] -= ave;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (data[i] == 0)
			continue;
		data[i + 1] += data[i];
		sum++;
	}
	printf("%d", sum);
}

负载平衡问题

负载平衡问题相当于是一个环状的 均分纸牌问题。

假设标号为\(i\)的小朋友开始有\(data[i]\)颗糖果，\(x[i]\)表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果，\(x[1]\)表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。 对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于ave，即得到了一个方程：A1-X1+X2=ave。

同理，对于第2个小朋友，有A2-\(x[i]\)+\(x[i]\)=ave。

对于第1个小朋友，A1-X1+X2=ave -> X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave，下面类似）

对于第2个小朋友，A2-X2+X3=ave -> X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2

我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的\(n\)个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，证明略。

\(Code\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, data[500010], s[500010];
int sum, ans;
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &data[i]),	sum += data[i];
    int result = sum / n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        data[i] -= result, s[i] = s[i - 1] + data[i];
    sort(s + 1, s + 1 + n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans += abs(s[n / 2 + 1] - s[i]);
    printf("%d", ans);
}