bzoj2839 集合计数（容斥）

2839: 集合计数

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Description

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得

它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

Input

一行两个整数N,K

Output

一行为答案。

Sample Input

3 2

Sample Output

6

HINT

【样例说明】

假设原集合为{A,B,C}

则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

【数据说明】

对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

Source

---

这若干个集合的交集的方案数：$C(n,k)$

那么问题就转化成：对剩下的$m=n-k$个数，求集合取法，使它们之间没有交集

这种计数问题一般用容斥瞎搞

先求出$m$个数构成的集合的所有取法：$2^{2^{m}}-1$

共$2^{m}$个集合，每个集合可取可不取$(2^{2^{m}}\; )$，再减去一个都不取的情况$(-1)$（试试n=k的情况）

蓝后我们把交集$>=1$的取法减掉：$-C(m,1)*(2^{2^{m-1}\; }-1)$

但是我们发现有多减了交集$>=2$的取法，于是再加回来$+C(m,2)*(2^{2^{m-2}\; }-1)$

...............

这就是容斥原理计数的基本套路辣

于是答案为$C(n,k)*\sum_{i=0}^{m=n-k}\; \; \; (-1)^i*C(m,i)*(2^{2^{m-i}}-1)$

后面这个$2^{2^{m-i}}$咋算呢

注意到$2^{2^m}\; =2^{2^{m-1}}\; *2^{2^{m-1}}\; $

于是我们倒着枚举$i$，每次统计完平方以下就好辣

注意别爆int了鸭TAT

#include<iostream>//注意防爆int
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define N 1000005
const ll P=;
int n,k,m;ll ans,nw,inv[N],fac[N],ifac[N];
inline ll C(int a,int b){return fac[a]*ifac[b]%P*ifac[a-b]%P;}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    inv[]=; fac[]=fac[]=ifac[]=ifac[]=;
    for(int i=;i<=n;++i){
        inv[i]=1ll*(P-P/i)*inv[P%i]%P;//乘法逆元线性预处理
        fac[i]=fac[i-]*i%P;
        ifac[i]=ifac[i-]*inv[i]%P;
    }m=n-k;nw=;
    for(int i=m;i>=;--i,nw=nw*nw%P)//倒着枚举i
        ans=((ans+((i&)?-:)*C(m,i)%P*(nw-)%P)%P+P)%P;
    ans=ans*C(n,k)%P;
    printf("%lld",ans);
    return ;
}