题目描述

射命丸文在取材中发现了一个好玩的东西,叫做组合数。

组合数的定义如下:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。所有组合的数量,就是组合数。

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m C^i_j$,其中当i>j的时候,钦定$C^i_j$​为0

她也很快就算出来了,不过对自己的答案不是很充满信心,因此你决定帮助她。然而没事找事的她一下子算了q次对于不同的n,m的结果,因此这只能劳烦你了。由于你不打算真正地帮助她,你无需把答案对998244353取模,也无需对64123取模,只要告诉她对取模之后的答案即可。

输入输出格式

输入格式:

第一行输入一个q,表示有q次询问。

第二行开始,一共q行,每行两个数字n,m,意思如题所示。

输出格式:

一共q行,对于每一个询问,都输出一个答案。

数据范围:n,m<=1000

solution

容易想到预处理出杨辉三角, c[i][j]表示$c^j_i$ %mod,递推公式是c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1],注意处理c[i][0]=1;

这样每次询问是O(nm),总的时间复杂度是O(qnm),TLE3个点,需要优化

通过模拟发现,题目中要求的数的和实际上在杨辉三角中是一个矩形的区域,也就是右下角下标为c[m][n]

例如,当m=4,n=3时,就是矩形区域的和,所以只需要维护一个二维前缀和就行了

一个大坑:当预处理二维前缀和时因为经过了取模,所以容易出现新的前缀和为负数的情况,而我们希望得到的一定是个正数,所以每一项s[i][j]=(s[i][j]+mod)%mod;

因为这个坑WA了三个

code

  1. #include<cstdio>
  2. #include<iostream>
  3. #include<cstring>
  4. #define mod 19260817//咳咳
  5. #define maxn 1020
  6. using namespace std;
  7. long long s[maxn][maxn],ts[maxn][maxn];
  8. int n,m,t,x,ans,tmp;
  9. void init(int n)
  10. {
  11. for(int i=;i<=n;++i)
  12. {
  13. s[i][]=;
  14. }
  15. for(int i=;i<=n;++i)
  16. {
  17. for(int j=;j<=n;++j)
  18. {
  19. if(j<=i) s[i][j]=(s[i-][j]+s[i-][j-])%mod;//杨辉三角
  20.  
  21. ts[i][j]=(ts[i-][j]+ts[i][j-]-ts[i-][j-]+s[i][j]+mod/*关键*/)%mod;//二维前缀和
  22. }
  23.  
  24. }
  25.  
  26. }
  27. int main()
  28. {
  29. scanf("%d",&t);
  30. init();//预处理杨辉三角与前缀和
  31. for(int k=;k<=t;++k)
  32. {
  33. scanf("%d%d",&n,&m);
  34. printf("%lld\n",ts[m][n]);
  35. }
  36. return ;
  37. }

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