P5239 回忆京都(洛谷3月月赛T2)
题目描述
射命丸文在取材中发现了一个好玩的东西,叫做组合数。
组合数的定义如下:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。所有组合的数量,就是组合数。
$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m C^i_j$,其中当i>j的时候,钦定$C^i_j$为0
她也很快就算出来了,不过对自己的答案不是很充满信心,因此你决定帮助她。然而没事找事的她一下子算了q次对于不同的n,m的结果,因此这只能劳烦你了。由于你不打算真正地帮助她,你无需把答案对998244353取模,也无需对64123取模,只要告诉她对取模之后的答案即可。
输入输出格式
输入格式:
第一行输入一个q,表示有q次询问。
第二行开始,一共q行,每行两个数字n,m,意思如题所示。
输出格式:
一共q行,对于每一个询问,都输出一个答案。
数据范围:n,m<=1000
solution
容易想到预处理出杨辉三角, c[i][j]表示$c^j_i$ %mod,递推公式是c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1],注意处理c[i][0]=1;
这样每次询问是O(nm),总的时间复杂度是O(qnm),TLE3个点,需要优化
通过模拟发现,题目中要求的数的和实际上在杨辉三角中是一个矩形的区域,也就是右下角下标为c[m][n]
例如,当m=4,n=3时,就是矩形区域的和,所以只需要维护一个二维前缀和就行了
一个大坑:当预处理二维前缀和时因为经过了取模,所以容易出现新的前缀和为负数的情况,而我们希望得到的一定是个正数,所以每一项s[i][j]=(s[i][j]+mod)%mod;
因为这个坑WA了三个
code
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define mod 19260817//咳咳
#define maxn 1020
using namespace std;
long long s[maxn][maxn],ts[maxn][maxn];
int n,m,t,x,ans,tmp;
void init(int n)
{
for(int i=;i<=n;++i)
{
s[i][]=;
}
for(int i=;i<=n;++i)
{
for(int j=;j<=n;++j)
{
if(j<=i) s[i][j]=(s[i-][j]+s[i-][j-])%mod;//杨辉三角 ts[i][j]=(ts[i-][j]+ts[i][j-]-ts[i-][j-]+s[i][j]+mod/*关键*/)%mod;//二维前缀和
} } }
int main()
{
scanf("%d",&t);
init();//预处理杨辉三角与前缀和
for(int k=;k<=t;++k)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
printf("%lld\n",ts[m][n]);
}
return ;
}
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