[HNOI2002]跳蚤

题目描述

Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。

比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。

当确定N和M后，显然一共有MN张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。

输入输出格式

输入格式：

输入文件有且仅有一行，包括用空格分开的两个整数N和M。

输出格式：

输出文件有且仅有一行，即可以完成任务的卡片数。

1≤M≤108，1≤N≤M，且MN≤1016。

输入输出样例

输入样例#1：

2  4

输出样例#1：

12

说明

这12张卡片分别是：

(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),

(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)

题解：

可以说

a1*1+a2*2+a3*3.....+am*m=1有解的方案数

就是GCD(a1,a2,...,am)=1

所以肯定有很多a=0，不为0的最多有n+1个

总方案就是m^n，由容斥原理

先将含有n个1个素数因子的数的方案数减去，再加去n个含有2个素数因子的方案，再减去3个，加上4个的方案。

直到cnt个(素数因子的数量)

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 typedef long long lol;
 lol n,m,ans;
 int cnt,prime[];
 lol pow(lol x,lol y)
 {
     lol res=;
     while (y)
     {
         if (y%==)
         res*=x;
         x*=x;
         y/=;
     }
     return res;
 }
 void dfs(lol goal,lol x,lol c,lol num)
 {

     if (num>goal)
     {
         if (goal%==)
         ans-=pow(m/c,n);
         else ans+=pow(m/c,n);
         return;

     }if (x>cnt) return;
     dfs(goal,x+,c*prime[x],num+);
     dfs(goal,x+,c,num);
 }
 int main()
 {int i;
     cin>>n>>m;
     if (m==)
     {
         cout<<;
         return ;
     }
      ans=pow(m,n);
      lol x=m;
      for (i=;i*i<=x;i++)
      {
          if (x%i==)
          {
              cnt++;
              prime[cnt]=i;
              while (x%i==) x/=i;
         }
      }
      if (x-)
         {
             cnt++;
             prime[cnt]=x;
         }
      for (i=;i<=cnt;i++)
      {
           dfs(i,,,);
      }
     cout<<ans;
 }