小C比较棘手的概率期望题,感觉以后这样的题还会贴几道出来。

Description

  给定一个n*n的邻接矩阵,邻接矩阵中元素pi,j表示的是从 i 到 j 这条单向道路在这一秒出现的概率百分比,走一条道路的时间需要1秒,问从1号点出发到n号点最短所需花费时间的期望。最短所需花费时间即在每一个点都按照最优决策移动。

Input

  第一行一个正整数n。接下来n行,每行n个整数,描述一个邻接矩阵。

Output

  输出一行一个小数,表示最短花费时间期望。你的答案和标准答案相差的绝对值不超过10^-6时,被视为正确答案。

Sample Input

  3
  100 50 50
  0 100 80
  0 0 100

Sample Output

  1.75000000000

HINT

  1<=n<=1000,0<=pi,j<=100。

Solution

  这道题有两个难点:

  一是怎么处理反复做这件事的概率,因为道路不是100%存在,所以有极小的概率永远走不到下一个点;

  二是怎么处理DP的顺序,概率DP的做法很显然,但这张图不是一张拓扑图(后面会讲到就算是拓扑图也不是按照拓扑序转移)。

  曾经有一位贤者说过,“计算概率要正着算,计算期望要倒着算”。

  姑且不论这句话的片面性,小C把这句话作为导语。

  所以终点的期望值肯定是0,然后一步步推到起点。

  为了解决第一个难点,首先我们考虑一下这样的情况:

  假设现在要计算期望f的点为x,它可以到达的点为e[1]~e[cnt],到达这些点的路出现的概率为p[1]~p[cnt]。

  而且e[1]~e[cnt]到达终点的期望f都是已知的。

  所以我们把e[1]~e[cnt]按照期望f从小到大排序,设排序后的数组为e'。

  由于最小花费要求我们总是向着最优策略移动,所以当有路径通向e'[1]时,往e'[1]走肯定是最优的。

  而通向e'[1]的路没出现时,我们就必须往e'[2]走。同理当e'[1]~e'[cnt-1]都没出现时,就必须往e'[cnt]走。

  然而当e'[1]~e'[cnt]都没出现时,我们就必须原地等待一秒,继续重复上面的操作。

  所以我们也就得到了求得f[x]的转移方程:

    

  把1提出来,得到:

    

  移项然后除过去,得:

    

  是不是很简单?

  但是你可能会有疑问,为什么x是从e'[1]~e'[cnt]转移,万一f[e'[cnt]]很大怎么办?是不是只转移到e'[cnt-1]甚至更早就够了?

  这就涉及到了第二个难点,关于转移顺序的问题。

  我们发现这样求最短路期望其实和求最短路没有什么两样。

  对于所有的f[x],我们首先可以明确它是一个定值,所以每个f[x]都是从比f[x]小的期望f转移得来;

  如果遇到比f[x]大的期望,那还不如原地等待一秒来的优呢!(其实就是从自己转移,请读者大约脑补一下)

  所以我们可以像dijkstra那样从小到大求出最短路期望。

  也就是每次选出当前未确定最短路期望的最小值,用这个最小值继续更新其他未确定的点。

  这个当前选出的最小值一定就是这个点的最短路径期望,因为比它f[x]大的期望一定不会更新f[x]。

  所以我们得出,依次求得的最短路径期望是递增的,其实这就是dijkstra算法本身的证明思路。

  于是这两个难点都完美解决了。

  至于如何维护信息已经很容易了,根据求f[x]的公式,我们只要维护  和  即可。

  时间复杂度为dijkstra算法的O(n^2)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MN 1005
#define INF 1LL<<62
using namespace std;
double pem[MN][MN],rem[MN],dis[MN];
double mn;
bool u[MN];
int n,mni; inline int read()
{
int n=,f=; char c=getchar();
while (c<'' || c>'') {if(c=='-')f=-; c=getchar();}
while (c>='' && c<='') {n=n*+c-''; c=getchar();}
return n*f;
} int main()
{
register int i,j;
n=read();
for (i=;i<=n;++i)
for (j=;j<=n;++j) pem[i][j]=(double)read()/;
for (i=;i<=n;++i) rem[i]=,dis[i]=;
rem[n]=dis[n]=;
for (i=;i<=n;++i)
{
mn=INF;
for (j=;j<=n;++j)
if (!u[j]&&rem[j]<&&dis[j]/(-rem[j])<mn) mn=dis[j]/(-rem[j]),mni=j;
dis[mni]=mn; u[mni]=true;
if (mni==) return *printf("%.10lf",dis[mni]);
for (j=;j<=n;++j)
if (!u[j]) dis[j]+=rem[j]*pem[j][mni]*dis[mni],rem[j]*=(-pem[j][mni]);
}
}

Last Word

  这算是小C少有的一次头脑清晰地码出概率/期望DP的一道题,但小C知道丧病的题还会有多,再接再厉吧。

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