hdu 2608 （数论）

hdu2608  0 or 1

题意：给你一个数N（N < 2^³¹）, 问从 1--N 所有数的因子和S(N)，求 S(N)%2 的值。

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2608

思路：参考了下其它博客，自己总结如下：

　　对于每一个数N，我们可以将其拆分为  N = 2^^e1 * p₂^^e2 * p₃^^e3 * ...  * p_m^^em （e1可能是0）。其中p1, p2... 都是 N 质因子。因为 N = 2^^e1 * p₂^^e2 * p₃^^e3 * ...  * p_m^^em ，我们可以的得到：

　　　　T[N]= [ ( 2^⁰+2^¹+...+2^^e1 ) * ( p₂^¹+p₂^²+...+p₂^^e2 ) * ... * ( p_m^⁰+p_m^¹+...+p_m^^em ) ]% 2；

（ N的因子数有K个，   K = (e₁+1) * (e₂+1) * ... * (e_m+1)，排列组合原理，大家可以随便模拟一个数）;

我们知道 ( 2^⁰+2^¹+...+2^^e1 )% 2 = 1 恒成立（因为有2^⁰=1），所以T[N]的值只取决与后面的乘式%2 是否出现了0，那么后面的式子怎样才会是零呢？很简单，因为所有的质素都是奇数，所以当除2以外的存在某一个质因子表达式为偶数项的时候就会为零了（偶数个奇数相加为偶数），也即只要满足至少存在一个 ei 的值为奇数（质因数 pi 项数为 ei- 0+ 1）。当然这题中，我们不会去直接计算为 0 的 T[i] 有多少多，这很困难，而是从反面求解，即计算 T[i] 为 1 的数的个数，这样，求 S[N] 也就转化为从 1-N 有多少个 T[i] 为1。回到前面，如果 T[i] 为 1，那么除了 2 之外所有质因子的 ei 都为偶数，这个条件就很好解决了，而不像前面的求解满足至少一项 ei 为奇数，既然除了 2 之外所有的 ei 都为偶数，所以：

　　 i = 2^^2k1 * p2^^2k2 * p3^^2k3 * ... * pm^^2km = (2^^k1 * P2^^k2 * P3^^k3 * ... * pm^^km)^²  = x^²   　　　　......(1)

或：i = 2^^2k1+1 * p2^^2k2 * p3^^2k3 * ... * pm^^2km = 2*(2^^k1 * P2^^k2 * P3^^k3 * ... * pm^^km)^²  = 2 * x^²  ......(2)

那么这个数一定会是 i = x^² 或者是 i= 2* x^² 的形式。所以统计从 1-N 之间有多少个满足 T[i] = 1 数吧。

那么 N 以内的数满足 (1) 和 (2) 式子的有多少呢？

首先，看一下满足(1)式子的个数： s1 = sqrt(n) 取下整，所以 ：　　　　　 s1 = (int)sqrt(n*1.0) ;

然后，再看一下满足(2)式子的个数： s2 = sqrt(n/2.0) 取下整，所以 ：　　 s2 = (int)sqrt(n/2.0) 。

所以，1--N 内满足 T[i] = 1 的个数有 s1 + s2 个。

代码：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 using namespace std;

 int main()
 {
     int t, n;
     scanf("%d", &t);
     while(t--) {
         scanf("%d", &n);
         printf("%d\n",((int)sqrt(n*1.0)+(int)sqrt(n/2.0))&);
     }
     return ;
 }