#线段树分治，凸壳#洛谷 5416 [CTSC2016]时空旅行

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题目大意

有 \(n\) 个平行宇宙，由某些平行宇宙添加或删除一个点（三维坐标）得到，

现在有 \(m\) 组询问，形如对于某个平行宇宙，费用为从该平行宇宙内某个点出发

到达指定 \(x\) 坐标的任意位置的欧几里得距离，

并且这些点本身出发需要费用，如何让费用最小，

保证原点在所有平行宇宙中均存在

解题过程

首先 \(x\) 坐标指定那么其实 \(y\) 坐标和 \(z\) 坐标可以被忽略，

那么询问可以转化为形如找到一个存在的 \(x\) ，

使得 \(y=(x-x_0)^2+d\)最小，其中\(d\)表示从这个 \(x\) 出发本身所需费用

把这个平方拆开可以得到 \(y=x^2-2x\cdot x_0 + {x_0}^2+d\)

将常数项放前面可以得到 \({x_0}^2=2x_0\cdot x-x^2+y-d\)

也就是各点坐标为\((2x,-x^2+d)\)，用斜率为 \(x_0\) 的直线扫描使得截距最小，那么这也就是求一个下凸壳

然后考虑平行宇宙怎么做，它会形成一棵树，那么点的存在就会锁定在一些dfs序的连续区间中，

也就可以转化成线段树维护dfs序的区间，点按横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字排序，

如果强制在线询问的话那么就二分答案需要多带一个\(\log\)，

否则可以按照斜率排序那么直接删除队头即可，时间复杂度\(O(m\log_2n)\)

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define rr register
using namespace std;
const int N = 500011;
typedef long long lll;
struct Point {
    lll x, y;
    inline Point operator -(const Point &t)const {
        return (Point) {
            x - t.x, y - t.y
        };
    }
} a[N];
struct rec {
    int x, z, rk;
} q[N];
struct node {
    int y, next;
} e[N];
vector<int>L[N], R[N];
vector<Point>K[N << 2];
lll ans[N];
int n, m, Q, rk[N], head[N << 2], dfn[N], et, v[N], tot, Z[N], as[N];
inline lll input() {
    rr lll ans = 0, f = 1;
    rr char c = getchar();

    while (!isdigit(c))
        f = (c == '-') ? -f : f, c = getchar();

    while (isdigit(c))
        ans = (ans << 3) + (ans << 1) + (c ^ 48), c = getchar();

    return ans * f;
}
inline void print(lll ans) {
    if (ans < 0)
        putchar('-'), ans = -ans;

    if (ans > 9)
        print(ans / 10);

    putchar(ans % 10 + 48);
}
inline lll dj(Point x, Point y) {//数量积
    return x.x * y.x + x.y * y.y;
}
inline lll cj(Point x, Point y) {//向量积
    return x.x * y.y - x.y * y.x;
}
inline void add(int x, int y) {
    e[++et] = (node) {y, as[x]}, as[x] = et;
}
inline void update(int k, int l, int r, int x, int y, int z) {
    if (l == x && r == y) {
        while (K[k].size() > 1 && cj(a[z] - K[k][K[k].size() - 1], a[z] - K[k][K[k].size() - 2]) <= 0)
            K[k].pop_back();//下凸壳，也就是向量积为顺时针时弹出队尾

        K[k].push_back(a[z]);
        return;
    }

    rr int mid = (l + r) >> 1;

    if (y <= mid)
        update(k << 1, l, mid, x, y, z);
    else if (x > mid)
        update(k << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, z);
    else
        update(k << 1, l, mid, x, mid, z), update(k << 1 | 1, mid + 1, r, mid + 1, y, z);
}
inline lll kxb(lll k, Point x) {//实际答案
    return k * x.x + x.y;
}
inline lll query(int k, int l, int r, int x, int z) {
    rr int len = K[k].size();
    rr lll ans = -2e18;

    if (len) {
        while (head[k] < len - 1 && kxb(z, K[k][head[k]]) <= kxb(z, K[k][head[k] + 1]))
            ++head[k];

        ans = kxb(z, K[k][head[k]]);
    }

    if (l == r)
        return ans;

    rr int mid = (l + r) >> 1;

    if (x <= mid)
        return max(ans, query(k << 1, l, mid, x, z));
    else
        return max(ans, query(k << 1 | 1, mid + 1, r, x, z));
}
inline void dfs(int x) {
    dfn[x] = ++tot;

    if (Z[x] > 0)
        L[Z[x]].push_back(tot);//插入操作的开头

    if (Z[x] < 0)
        R[-Z[x]].push_back(tot - 1);//删除操作的结尾

    for (rr int i = as[x]; i; i = e[i].next)
        dfs(e[i].y);

    if (Z[x] > 0)
        R[Z[x]].push_back(tot);//插入操作的结尾

    if (Z[x] < 0)
        L[-Z[x]].push_back(tot + 1);//删除操作的开头
}
bool cmp1(int x, int y) {//横坐标第一关键字
    return a[x].x < a[y].x || (a[x].x == a[y].x && a[x].y < a[y].y);
}
bool cmp2(rec x, rec y) {//按斜率排序
    return x.z < y.z;
}
signed main() {
    freopen("travel.in", "r", stdin);
    freopen("travel.out", "w", stdout);
    n = input(), Q = input(),
    L[1].push_back(1),
    R[1].push_back(n), v[1] = 1;
    a[m = 1] = (Point) {
        0, -input()
    };
//令第一个点为原点
    for (rr int i = 2; i <= n; ++i) {
        rr int opt = iut();
        add(input() + 1, i);
        rr int z = input() + 2;

        if (!v[z])
            v[z] = ++m;//重新编号

        if (opt == 1)
            Z[i] = -v[z];//删除操作
        else {
            rr lll d = iut();
            input(), input();
            a[Z[i] = v[z]] = (Point) {
                2 * d, -d *d - input()
            };//添加点
        }
    }

    for (rr int i = 1; i <= m; ++i)
        rk[i] = i;

    dfs(1), sort(rk + 1, rk + 1 + m, cmp1);

    for (rr int i = 1; i <= m; ++i) {
        rr int len = L[rk[i]].size();

        for (rr int j = 0; j < len; ++j) {
            rr int Ll = L[rk[i]][j], Rr = R[rk[i]][j];

            if (Ll <= Rr)
                update(1, 1, n, Ll, Rr, rk[i]);
        }
    }

    for (rr int i = 1; i <= Q; ++i)
        q[i] = (rec) {
        dfn[input() + 1], input(), i
    };

    sort(q + 1, q + 1 + Q, cmp2);

    for (rr int i = 1; i <= Q; ++i)
        ans[q[i].rk] = 1ll * q[i].z * q[i].z - query(1, 1, n, q[i].x, q[i].z);

    for (rr int i = 1; i <= Q; ++i)
        print(ans[i]), putchar(10);

    return 0;
}