[NOI2007]生成树计数环形版

NOI2007这道题人类进化更完全之后出现了新的做法

毕姥爷题解：

于是毕姥爷出了一道环形版的这题（test0814），让我们写这个做法

环形的情况下，k=5的时候是162阶递推。

求这个递推可以用BM算法

一个很好的介绍BM算法的博客

 //Achen
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #include<set>
 #include<map>
 #define Formylove return 0
 #define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
 #define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
 const int p=;
 typedef long long LL;
 typedef double db;
 using namespace std;
 int k;
 
 template<typename T>void read(T &x)  {
     char ch=getchar(); x=; T f=;
     while(ch!='-'&&(ch<''||ch>'')) ch=getchar();
     if(ch=='-') f=-,ch=getchar();
     for(;ch>=''&&ch<='';ch=getchar()) x=x*+ch-''; x*=f;
 }
 
 LL a[][];
 LL solve(int n) {
     LL rs=,f=;
     For(i,,n) For(j,,n) a[i][j]=(a[i][j]+p)%p;
     For(i,,n) {
         For(j,i+,n) {
             LL A=a[i][i],B=a[j][i],t;
             while(B) {
                 t=A/B;
                 For(k,i,n) a[i][k]=(a[i][k]-t*a[j][k]%p+p)%p;
                 For(k,i,n) swap(a[i][k],a[j][k]);
                 A%=B; swap(A,B); f=-f;
             }
         }
         rs=rs*a[i][i]%p;
     }
     if(f==-) rs=p-rs;
     return rs;
 }
 
 #define ANS
 int main() {
 #ifdef ANS
     //freopen("shanghai.in","r",stdin);
     freopen("biao.out","w",stdout);
 #endif
     read(k);
     //printf("%d\n",500-2*k);
     int tot=;
     For(n,*k+,) {
         tot++;
         For(i,,n) For(j,i+,n) if(min(abs(i-j),n-abs(i-j))<=k) {
             a[i][i]++;
             a[j][j]++;
             a[i][j]--;
             a[j][i]--;
         }
         LL rs=solve(n-);
         printf("%lld,",rs);
         For(i,,n) For(j,,n) a[i][j]=;
         if(tot==) break;
     }
     Formylove;
 }

暴力程序(矩阵树定理)

对于每个k用上面这个暴力打表，再用下面这个模板得出递推（ps,BM算法n越大越精确，当k=5,n只取到200时会得出90多阶的递推而不是162阶）

 //Achen
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #include<set>
 #include<map>
 #define Formylove return 0
 #define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
 #define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
 const int N=,p=;
 typedef long long LL;
 typedef double db;
 using namespace std;
 int n,cnt,fail[N];
 vector<LL>f[N];
 LL a[N],delta[N];
 
 template<typename T>void read(T &x)  {
     char ch=getchar(); x=; T f=;
     while(ch!='-'&&(ch<''||ch>'')) ch=getchar();
     if(ch=='-') f=-,ch=getchar();
     for(;ch>=''&&ch<='';ch=getchar()) x=x*+ch-''; x*=f;
 }
 
 LL ksm(LL a,LL b) {
     LL rs=,bs=a%p;
     while(b) {
         if(b&) rs=rs*bs%p;
         bs=bs*bs%p;
         b>>=;
     }
     return rs;
 }
 
 #define ANS
 int main() {
 #ifdef ANS
     freopen("biao.out","r",stdin);
     freopen("k4.out","w",stdout);
 #endif
     read(n);
     For(i,,n) read(a[i]);
     For(i,,n) {
         LL tp=;
         int up=f[cnt].size();
         For(j,,up-)
             tp=(tp+f[cnt][j]*a[i-j-]%p)%p;
         if(tp==a[i]) continue;
         delta[i]=(a[i]-tp+p)%p;
         fail[cnt]=i;
         ++cnt;
         if(cnt==) {
             f[cnt].resize(i);
             continue;
         }
         LL mul=delta[i]*ksm(delta[fail[cnt-]],p-)%p,fmul=(p-mul)%p;
         f[cnt].resize(i-fail[cnt-]-);
         f[cnt].push_back(mul);
         up=f[cnt-].size();
         For(j,,up-)
             f[cnt].push_back(fmul*f[cnt-][j]%p);
         up=f[cnt-].size();
         if(f[cnt].size()<f[cnt-].size()) f[cnt].resize(up);
         For(j,,up-) f[cnt][j]=(f[cnt][j]+f[cnt-][j])%p;
     }
     int up=f[cnt].size();
     printf("%d\n",up);
     For(i,,up-) printf("%lld,",f[cnt][i]);
     Formylove;
 }

模意义下BM模板

把打出来的表直接放程序里，暴力递推就有80了。

 //Achen
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #include<set>
 #include<map>
 #define Formylove return 0
 #define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
 #define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
 const int p=;
 typedef long long LL;
 typedef double db;
 using namespace std;
 int len[]={,,,,,};
 LL f[][]={{},{,,},{,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}};
 LL a[][]={{},{,,},{,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}};
 LL b[],n,k;
 
 template<typename T>void read(T &x)  {
     char ch=getchar(); x=; T f=;
     while(ch!='-'&&(ch<''||ch>'')) ch=getchar();
     if(ch=='-') f=-,ch=getchar();
     for(;ch>=''&&ch<='';ch=getchar()) x=x*+ch-''; x*=f;
 }
 
 #define ANS
 int main() {
 #ifdef ANS
     freopen("shanghai.in","r",stdin);
     freopen("shanghai.out","w",stdout);
 #endif
     read(k); read(n);
     For(i,,len[k]) b[i+*k]=a[k][i];
     For(i,len[k]+*k+,n) {
         For(j,,len[k]) b[i]=(b[i]+f[k][j]*b[i-j]%p)%p;
     }
     printf("%lld\n",b[n]);
     Formylove;
 }
 /*
 
 */

80pt

矩乘优化好像跑不过，得多项式取模优化才行。。。

多项式取模优化k阶常系数线性递推

时间复杂度k^2logn

 //Achen
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #include<set>
 #include<map>
 #define Formylove return 0
 #define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
 #define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
 const int p=;
 typedef long long LL;
 typedef double db;
 using namespace std;
 int len[]={,,,,,};
 LL f[][]={{},{,,},{,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}};
 LL a[][]={{},{,,},{,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}};
 LL b[],n,k;
 
 template<typename T>void read(T &x)  {
     char ch=getchar(); x=; T f=;
     while(ch!='-'&&(ch<''||ch>'')) ch=getchar();
     if(ch=='-') f=-,ch=getchar();
     for(;ch>=''&&ch<='';ch=getchar()) x=x*+ch-''; x*=f;
 }
 
 LL rs[],bs[];
 void mul(LL a[],LL b[],LL c[]) {
     static LL tp[];
     int up=(len[k]<<);
     For(i,,up) tp[i]=;
     For(i,,len[k]-) For(j,,len[k]-)
         (tp[i+j]+=a[i]*b[j]%p)%=p;
     Rep(i,up,len[k]) For(j,,len[k])
         (tp[i-j]+=f[k][j]*tp[i]%p)%=p;
     For(i,,up) c[i]=tp[i];
 }
 
 void ksm(LL b) {
     while(b) {
         if(b&) mul(rs,bs,rs);
         mul(bs,bs,bs);
         b>>=;
     }
 }
 
 #define ANS
 int main() {
 #ifdef ANS
     freopen("shanghai.in","r",stdin);
     freopen("shanghai.out","w",stdout);
 #endif
     read(k); read(n);
     n-=*k;
     For(i,,len[k]) b[i]=a[k][i];
     if(n<=len[k]) printf("%lld\n",b[n]);
     else {
         rs[]=; bs[]=;
         ksm(n-);
         LL ans=;
         For(i,,len[k]-) (ans+=b[i+]*rs[i]%p)%=p;
         printf("%lld\n",ans);
     }
     Formylove;
 }

100pt