meet-in-the-middle 基础算法(优化dfs)
$meet-in-the-middle$(又称折半搜索、双向搜索)对于$n<=40$的搜索类型题目,一般都可以采用该算法进行优化,很稳很暴力。
$meet-in-the-middle$算法的主要思想是将搜索区域化为两个集合,分别由搜索树的两端向中间扩展,直到搜索树产生交集,此时即可得到我们的合法情况。
通常适用于求经过$n$步变化,从A集合变到B集合需要的方案数问题。
对于普通dfs来说,其一大弊端是随着搜索层数的不断增加,搜索的复杂度也会极速增长,
而$meet-in-the-middle$算法能够将搜索层数降至原来的一半,对整体效率而言无疑是不小的提升。
如图所示:
可以明显看出$meet-in-the-middle$对于dfs优化之显著。
那么考虑$meet-in-the-middle$的算法流程:
1、从状态$L$出发,经过$x$步状态扩展,记录到达状态$i$的步数,通常这里会与状压、二分等内容结合。
2、从状态$R$出发,经过$y$步状态扩展,若同样到达状态$i$并且步数不为0,则累加答案。
通常我们需要保证$x+y=n$,也就是需要满足状态总数不变,只是深度减少,一般情况下取$x=y=(n>>1)$最优
但具体情况应视题而定,可能搜索深度不均匀时,效率反而会更高。
下面来看一道例题:
[BZOJ 2679] Balanced Cow Subsets
简要题意:有多少个非空子集,能划分成和相等的两份。$(n<=20)$
分析:显然的$meet-in-the-middle$定义,考虑如何转化
将题设转化成方程的形式$a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=0$,其中$x=0,1,-1$(表示不选,选入集合$l$,选入集合$r$),那么移项可得一种两侧各有一种集合的形式,根据题目要求,我们需要求出可以构建出该方程的集合方案数,可以采用状压的思想,记录所选取的数的和以及选取集合的状态即可。
#include<bits/stdc++.h>
#include<tr1/unordered_map>
#define re register
using namespace std;
int n,a[],cntl,cntr,ans=-;
bool vis[<<];
inline int read(){
re int a=,b=; re char ch=getchar();
while(ch<''||ch>'')
b=(ch=='-')?-:,ch=getchar();
while(ch>=''&&ch<='')
a=(a<<)+(a<<)+(ch^),ch=getchar();
return a*b;
}
struct node{
int sta,val; node(){}
node(int x,int y){sta=x,val=y;}
bool operator < (const node &b) const {
return val<b.val;
}
bool operator > (const node &b) const {
return val>b.val;
}
}l[<<],r[<<];
inline void dfs1(re int x,re int tot,re int sta){
if(x>(n>>)){
l[++cntl]=node(sta,tot);
return ;
}
dfs1(x+,tot,sta);
dfs1(x+,tot+a[x],sta|(<<(x-)));
dfs1(x+,tot-a[x],sta|(<<(x-)));
}
inline void dfs2(re int x,re int tot,re int sta){
if(x>n){
r[++cntr]=node(sta,tot);
return ;
}
dfs2(x+,tot,sta);
dfs2(x+,tot+a[x],sta|(<<(x-)));
dfs2(x+,tot-a[x],sta|(<<(x-)));
}
signed main(){
n=read();
for(re int i=;i<=n;++i) a[i]=read();
dfs1(,,); dfs2((n>>)+,,);
sort(l+,l+cntl+,less<node>());
sort(r+,r+cntr+,greater<node>());
for(re int i=,j=,pos;i<=cntl&&j<=cntr;++i){
while(j<=cntr&&l[i].val+r[j].val>) ++j;
for(pos=j;l[i].val==-r[pos].val;++pos){
re int sta=(l[i].sta|r[pos].sta);
if(!vis[sta]) vis[sta]=,++ans;
}
}
printf("%d\n",ans);
}
Code
同种类的题目还有许多,例如 [POJ 1186] 方程的解数, [BZOJ 4800] 冰球世界锦标赛 等。
综上可见$meet-in-the-middle$算法的应用之广。
至此,通过分析转化搜索模型,达到了降低搜索复杂度,优化程序效率的目的。
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