DP&图论 DAY 1 下午

DP&图论  DAY 1  下午

 区间和序列上的DP

序列上的DP

>序列上的dp状态设计最基本的形式

F[i]表示以 i 结尾的最优值或方案数。
◦ F[i][k]表示以 i 结尾附加信息为k的最优值或方案数。
◦当然可以有多维附加信息。
◦转移的话往往是枚举上一个断点。
◦ F[i]=max { F[j]+ w(j+1,i) | j是一个满足转移条件的断点}。
◦另一个很常见的是： f[i][j]前i个位置分成j段/选出j个的最优值。
◦这是最简单的一类序列上的dp。

>bzoj1003
◦有m个码头和e条航线，每天航线有成本。有连续n天需要从1号码头到m
号码头运输货物。每个码头会在某些天数区间内不许经过。每更换一次
运输路线，要付出k的成本。
◦求这n天的最小总成本。
◦ m<=20， n<=100

>Solution

◦其实就是分成很多段，每一段选同一个运输路线，然后得到一个最优的
划分方案，使得成本最小。
◦ f[i]表示前i天的运输最小成本。
◦ f[i]=min{ f[j]+k+w(j+1,i)*(i-j) | j<i }
◦其中w(x,y)表示最短的在第x天到第y天都能用的路线长度，把能在则几天
一直走的点加进图中，跑最短路径即可。
◦复杂度O(N^2 * m * log(m))

>bzoj1296 粉刷匠

有n条木板要被粉刷，每条木板分为m个格子，每个格子需要被刷成蓝色
或红色。
◦每次粉刷可以在一条木板上给连续的一段格子刷上相同的颜色。每个格
子最多被刷一次。
◦问若只能刷k次，最多正确粉刷多少格子。
◦ n,m<=50， k<=2500

>Solution

如果只有一条木板，那么设g[i][j]表示前i个格子刷j次的最多正确格子
◦ g[i][j]=max{ g[k][j-1]+w(k+1,i) | k<i }
◦ w(x,y)为第x到第y个格子的最多同色格子数，哪个颜色出现的多刷哪个，
直接记一个前缀和即可。
◦有多条木板，设f[i][j]表示前i个木板刷j次的最大答案。
◦ f[i][j]=Max{ f[i-1][k]+gi[m][j-k] | k<=j }
◦其实像这种一般的dp，就是把影响答案的信息用多维状态来表示，什么
必要什么就放在状态里。

括号序列模型及解法

>Codeforces314E
◦给定一个长度为n的仅包含左右括号和问号的字符串，将问号变成左括号
或右括号使得该括号序列合法，求方案总数。
◦例如(())与()()都是合法的括号序列。
◦ n<=3000。

>Solution

◦括号序列问题，往往就是把左括号看成+1，右括号看成-1，我们只需要
保证任意一个前缀大于等于0，且总和为0，就代表是个合法括号序列了。
◦令dp[i][j]表示当前到第i个字符，现在还有j个左括号。
◦那么分三种情况考虑。
◦若第i+1个字符是左括号，则能转移到dp[i+1][j+1]。
◦若第i+1个字符是右括号，则能转移到dp[i+1][j-1]。
◦若第i+1个字符是问号，则能转移到dp[i+1][j-1]与dp[i+1][j+1]。
◦最终dp[n][0]就是方案总数啦。
◦时间复杂度为O(n^2)。

>bzoj4922

给出一些括号序列，要求选择一些括号序列拼接成一个合法的括号序列，
使得总长最大。
◦ 1<=n<=300，表示括号序列的个数
◦括号序列的长度len不超过300.

>Solution

◦首先对于每个括号序列，把左边的左括号和右边的右括号对消，最后能
得到一坨这样的东西：
◦ ))…))((…((
◦就是x个右括号然后y个左括号，记作(x,y)
◦然后考虑假如我们的子集选好了，我们要按照什么顺序拼接才能拼成一
个合法的括号序列呢？
◦这就转化成了另一个问题： BZOJ3709。

◦贪心： noip的贪心很多都是按照某种方式排序，然后依次选或处理。
◦我们来看看应该怎么排序。
◦关于本题：
◦ 1：如果a[i]-d[i]>0，说明打掉这个怪兽有血可恢复，那么血量会变多，明
显我们按照伤害d[i]从小到大排序即可，然后一个个杀下来。

◦ 2：如果a[i]-d[i]<0，说明会亏血。一个精妙的想法就是，最后剩余的血量
值，假设是x，那么x是固定的。然后可以看作初始血量为x，怪兽的属性
a,d交换，这样就和上一种情况一样了。 （如图）

◦我们还是把左括号看成+1，右括号看成-1，同样是保证任意一个前缀大
于等于0，且总和为0。
◦那就是每一个给定的序列都是 先-Li再+Ri， Li是对消后左端右括号的数量，
Li是对消后右端左括号的数量。然后依次拼起来之后任何一个前缀都大于
等于0，这个其实和刚刚所讲的题目完全一样。
◦我们按照上一题的做法排序即可，排序后我们从左往右做dp。

◦设f[i][j]为 前i个括号序列-1与+1的和j个时选出括号序列最长的长度和。
◦ 也就是 前i个括号序列左括号比右括号多j个时的最长的长度和。
◦转移时考虑下一个括号序列选不选即可。
◦ Len[i]为排完序后第i个括号序列的长度。
◦ f[i+1][j-L[i+1]+R[i+1]]f[i][j] + len[i+1] (j>=L[i+1])
◦ f[i+1][j]f[i][j]
◦最后答案就是f[n][0]. 复杂度O(n*len*len)

一套有趣的题目
◦ 1： 1,2,3…n 以此进栈，求有多少种可能的出栈序列。
◦ 2：由n对括号形成的合法的括号序列由多少个。
◦ N<=10^5
◦这个问题还有很多其他的表达形式。
◦ 3:n个节点共能构成多少种二叉树,左右子树是认为不同。
◦ 4:凸多边形的三角划分的方案数：把一个凸多边形用n-3条直线连接n-3对
顶点，共形成n-2个三角形，求方案数。
◦ 5：一个n*n的格子，从(0,0)走到(n,n)，求不跨过(0,0)->(n,n)这条直线的路
径方案数。

卡特兰数
◦我们设f[n]表示n个数依次进栈所能形成的出栈序列数。
◦似乎和之前不一样，好像不是划分成一段一段那样的简单形式。
◦我们可以考虑另一种形式的状态转移方式，以转移到子问题。
◦注意一段一段划分我们可以枚举最后一段的起点，但是这里不是一段一
段的，我们要考虑另外的转移方式。
◦实际上我们发现我们可以枚举1这个数是什么时候出栈的。
◦那么我们可以得到

◦其实还有一个更简便的形式

◦或

另一个经典问题
>一个经典题
◦有n个数，选择其中若干数，使得每连续k个数中都至少有一个数被选中，
且选出的数的和最小。
◦ k<=n<=1000。
◦ k<=n<=100000

>Solution

◦令dp[i]表示前i个数满足题目要求且第i个数被选中，这样的情况下选出的
数的和最少是多少。
◦通过枚举上一个被选出的数j在哪里，有dp[i]=min{dp[j]+a[i]}，其中要满足
的条件为i-j<=k。
◦时间复杂度为n^2。
◦我们合法的转移区间不断向右移动，而这就是一个典型的滑动窗口问题。

单调队列优化
◦观察式子dp[i]=min{dp[j]}+a[i]。 (i-j<=k)
◦对于两个决策 j1 , j2 , 满足 j1 < j2 。
◦若dp[j1]<dp[j2]，则当i-j1>k， i-j2<=k时， j2能代替j1。
◦若dp[j1]>=dp[j2]，则无论何时， j1都不可能比j2优，可以直接删除。
◦每次在队列末尾插入删除一个数或者在队首删除一个数，且该队列始终
保持单调递增。
◦因此称为单调队列优化。
◦每个数进入队列出队列一次，转移是O(1)的，总时间复杂度为O(n)。

◦ q即维护的单调队列。

 一种经典优化技巧

Vocabulary简化版

◦给定3个等长的只包含“?”或小写字母的字符串s，其中“?”表示可能是任意
一个小写字母。
◦已知3个字符串的字典序是升序的且互不相同。
◦问方案总数。
◦ |s|<=1000。
◦ |s|<=100000。

>Solution

◦令dp[i][0/1][0/1]表示前i个字符，第一个字符串是否等于第二个字符串，
第二字符串是否等于第三个字符串。
◦枚举第i+1位所有问号是什么字母，直接转移。
◦复杂度O(n*26^3)。
◦如何优化？

◦预处理转移的系数，是个很经典的优化技巧。

◦预处理出f[i][j][k][0/1][0/1][0/1][0/1]表示下一个位置，第一个串字符是i，
第二个串字符是j，第三个串字符是k，由于可能出现”?”的情况，我们用0
表示”?”。前两个[0/1]表示之前的位置1和2串是否相等， 2和3串是否相等，
后两个[0/1]表示将下一个位置所有”?”用字母代替后，第1个串的与第二个
串的是否相等， 2和3串是否相等，在转移时直接拿f数组转移。
◦利用这个转移系数的数组做dp的时间复杂度就是O(n)的了。
◦预处理就直接，枚举问号怎么选，即可，复杂度O(27^3*2^2…..)。