P1462 通往奥格瑞玛的道路[最短路+二分+堆优化]

题目来源：洛谷

题目背景

在艾泽拉斯大陆上有一位名叫歪嘴哦的神奇术士，他是部落的中坚力量

有一天他醒来后发现自己居然到了联盟的主城暴风城

在被众多联盟的士兵攻击后，他决定逃回自己的家乡奥格瑞玛

题目描述

在艾泽拉斯，有n个城市。编号为1,2,3,...,n。

城市之间有m条双向的公路，连接着两个城市，从某个城市到另一个城市，会遭到联盟的攻击，进而损失一定的血量。

每次经过一个城市，都会被收取一定的过路费（包括起点和终点）。路上并没有收费站。

假设1为暴风城，n为奥格瑞玛，而他的血量最多为b，出发时他的血量是满的。

歪嘴哦不希望花很多钱，他想知道，在可以到达奥格瑞玛的情况下，他所经过的所有城市中最多的一次收取的费用的最小值是多少。

输入输出格式

输入格式：

第一行3个正整数，n，m，b。分别表示有n个城市，m条公路，歪嘴哦的血量为b。

接下来有n行，每行1个正整数，fi。表示经过城市i，需要交费fi元。

再接下来有m行，每行3个正整数，ai，bi，ci(1<=ai，bi<=n)。表示城市ai和城市bi之间有一条公路，如果从城市ai到城市bi，或者从城市bi到城市ai，会损失ci的血量。

输出格式：

仅一个整数，表示歪嘴哦交费最多的一次的最小值。

如果他无法到达奥格瑞玛，输出AFK。

输入输出样例

输入样例#1：

4 4 8
8
5
6
10
2 1 2
2 4 1
1 3 4
3 4 3

输出样例#1：

10

说明

对于60%的数据，满足n≤200，m≤10000，b≤200

对于100%的数据，满足n≤10000，m≤50000，b≤1000000000

对于100%的数据，满足ci≤1000000000，fi≤1000000000，可能有两条边连接着相同的城市。（注意细节）

这道题值得一写啊。。。我卡了差不多十次。每次都是一点点瑕疵。

一开始想着dfs暴力搞定，如你所料，TLE了。。。于是转向求助于dijkstra，看了看书发现最短路可以做这道题，结果是最后骗AFK骗到45分。。。

无奈求助于题解，遂用二分解之。

我解释的挺不清楚的，因为我自己也没有理解透彻，这道题比较绕，容易把最大跟最小还有限制条件一下子搞混了，就全乱了。

---

解析：

题目有点难理解，先解释一下题目：

对于一个有向图G，有两种信息：一个是每条边的权，一个是每个点的费用。

对于这个给定的有向图G，从1到n的通路是一定的。

限制条件：给定一个值，使得某条1到n的通路的边权之和不大于这个值。

我们假设满足以上限制的这些1到n的通路的集合为S(n)。

对于这个集合S中的每个元素（即每条通路），我们记该路径上点的费用的最大值为另一个集合max(n)。

嘿，有了上面这些数学语言的描述作基础，我们可以很简单的理解题意。

我们就是要求出max集合中的最小值。

思路大概是这样：

我们首先要得到合法的可达的通路，使得歪嘴哦不死，然后就是对这条通路做限制，使得这条通路对应的max尽可能小。

我们知道，可选的点是一定的，所以本题的答案一定在所有点的集合中，为了得到更小的让歪嘴哦不死的一个max，我们有一个解法。

假设所有可选的点是a1,a2,...an,我们就把它们排个序，从大到小来找一个既使得歪嘴哦不死，又使得max尽量小的点费用。

因为要让他尽可能不死，所以我们用最短路算法来尽量让他活下来。

哎，发现了没有，“从大到小来找一个既使得歪嘴哦不死，又使得max尽量小的点费用。”这样一个设定，使得我们可以用二分去解它！

二分的前提是，歪嘴哦不死！

我用了一个dij来判断歪嘴哦在当前点费用限制下会不会死：

 bool dijkstra(int limit)
 {
     memset(v,,sizeof(v));
     memset(d,0x3f,sizeof(d));
     d[]=;
     q.push(make_pair(,));
     while(q.size()){
         int index=q.top().second;q.pop();
         if(v[index]) continue;
         v[index]=;
         for(int i=head[index];i;i=g[i].next){
             int y=g[i].ver,z=g[i].edge;
             if(d[y]>d[index]+z&&c[y]<=limit){
                 d[y]=d[index]+z;
                 q.push(make_pair(d[y],y));
             }
         }
     }
     if(d[n]<=hp) return ;
     else return ;
 }

这个limit就是我们对这条最短路能走过的点费用最大值的限制。

然后是这个二分：

 sort(u+,u+n+);
     int l=,r=n,ans=c[n];
     while(l<=r){
         int mid=(l+r)>>;
         if(dijkstra(u[mid]))
         {
             r=mid-;ans=u[mid];
         }
         else l=mid+;
     }
     printf("%d\n",ans);

不做任何关于点费用的限制歪嘴哦都会死的话，那就只能AFK了（他真惨）：

 　　if(!dijkstra(INF)){
         printf("AFK\n");return ;
     }

参考代码：

具体的我就不写注释了，上面已经写的很清楚了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstring>
#define N 10010
#define INF 0x3fffffff
using namespace std;
int head[N],d[N*],tot,n,m,hp;
int u[N*],c[N*];
bool v[N*];
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > q;
struct node{
    int ver,next,edge;
}g[N*];
void add(int x,int y,int val)
{
    g[++tot].ver=y,g[tot].edge=val;
    g[tot].next=head[x],head[x]=tot;
}

bool dijkstra(int limit)
{
    memset(v,,sizeof(v));
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    d[]=;
    q.push(make_pair(,));
    while(q.size()){
        int index=q.top().second;q.pop();
        if(v[index]) continue;
        v[index]=;
        for(int i=head[index];i;i=g[i].next){
            int y=g[i].ver,z=g[i].edge;
            if(d[y]>d[index]+z&&c[y]<=limit){
                d[y]=d[index]+z;
                q.push(make_pair(d[y],y));
            }
        }
    }
    if(d[n]<=hp) return ;
    else return ;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&hp);
    for(int i=;i<=n;i++){
        scanf("%d",&c[i]);//到达每个点的费用
        u[i]=c[i];//我们额外搞一个数组来二分
    }
    for(int i=;i<=m;i++){
        int x,y,val;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&val);//过边损失血量
        if(x==y) continue;
        add(x,y,val);add(y,x,val);
    }
    if(!dijkstra(INF)){
        printf("AFK\n");return ;
    }
    sort(u+,u+n+);
    int l=,r=n,ans=c[n];
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)>>;
        if(dijkstra(u[mid]))
        {
            r=mid-;ans=u[mid];
        }
        else l=mid+;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return ;
}

2019-05-31 19:07:02