[NOIP2013 花匠] 新人解题报告

本来按照老师的要求，我学OI的第一份解题报告应是在寒假完成的关于数据结构的基础题，但由于身体原因当时未能完成，那么就在省选赛前临时写几篇吧……
题目描述

花匠栋栋种了一排花，每株花都有自己的高度。花儿越长越大，也越来越挤。栋栋决定把这排中的一部分花移走，将剩下的留在原地，使得剩下的花能有空间长大，同时，栋栋希望剩下的花排列得比较别致。

具体而言，栋栋的花的高度可以看成一列整数ℎ₁, ℎ₂, … , ℎ_n。设当一部分花被移走后，剩下的花的高度依次为g₁, g₂, … , g_m，则栋栋希望下面两个条件中至少有一个满足：

条件 A：对于所有的1 ≤ i ≤ m/2，g_2i > g_2i−1，且g_2i > g_2i+1；

条件 B：对于所有的1 ≤ i ≤ m/2，g_2i < g_2i−1，且g_2i < g_2i+1。

注意上面两个条件在m = 1时同时满足，当m > 1时最多有一个能满足。

请问，栋栋最多能将多少株花留在原地。

输入

输入的第一行包含一个整数 ，表示开始时花的株数。
第二行包含 个整数，依次为ℎ1, ℎ2,… , ℎn，表示每株花的高度。

输出

输出一行，包含一个整数m，表示最多能留在原地的花的株数
样例
FlowerNOIP2013.in
5
5 3 2 1 2
FlowerNOIP2013.out
3
数据范围

对于 20%的数据，n ≤ 10；
对于 30%的数据，n ≤ 25；
对于 70%的数据，n ≤ 1000，0 ≤ h_i ≤ 1000；
对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤ h_i ≤1,000,000，所有的h_i随机生成，所有随机数服从某区间内的均匀分布。

个人分析

明显的最优子结构性质，可以用动规来做。应该注意到存在30%的变态数据(1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤ h_i ≤1,000,000)，因此想拿满分应当找到线性的算法（这种提示也可以？…………）。A、B两种情况不仅不会增加复杂性，反而消除了对n奇偶性的讨论。两种情况可以简化为一种锯齿状的数列，只需讨论i前保留的花高度与花i的高度h[i]的关系即可。
第i朵花的高度为h[i]（1 <= i <= n)，前i朵花“尾部为升序”的最长序列长度为S1[i]，“尾部为降序”的最长序列长度为S2[i]。
则有状态转移方程:
    1. (h[i] > h[i-1])：S1[i] = max(S1[i-1], S2[i-1] + 1)；S2[i] = S2[i-1]；
    2. (h[i] == h[i-1])：S1[i] = S1[i-1]；S2[i] = S2[i-1]；
    3. (h[i] < h[i-1])：S1[i] = S1[i-1]；S2[i] = max(S2[i-1], S1[i-1] + 1)；

由此可以写出复杂度为O(n)的动态规划代码：

 1 //＜NOIP2013＞ 花匠

 2 #include <cstdio>

 3 using namespace std;

 4 int maxm(int a, int b)

 5 {

 6     if(a >= b )return a ;

 7         else return b;

 8 }

 9 const int maxn = ;

 int h[maxn] = {};  //

 int n;

 int S1[maxn], S2[maxn] ;

 //(1尾部为升序,2尾部为降序)

 int main(void)

 {

     FILE *in = fopen ("FlowerNOIP2013.in","r");

     FILE *out = fopen ("FlowerNOIP2013.out" ,"w");

     fscanf(in, "%d", &n);

     int i;

     for(i = ; i <= n; i++)

         fscanf(in, "%d", &h[i]);

     S1[] = S2[] = ;   //初始状态

     

     for(int i = ;i <= n; i++)

     {

         if(h[i] > h[i-]) // case1

         {

             S1[i] = maxm(S1[i-], S2[i-]+ );

             S2[i] = S2[i-];

         }

         else if (h[i] == h[i-])// case2

         {

             S1[i] = S1[i-];

             S2[i] = S2[i-];

         }

         else    //case 3

         {

             S1[i] = S1[i-];

             S2[i] = maxm(S1[i-]+, S2[i-] );

         }

     }

     

     fprintf(out, "%d", maxm(S1[n], S2[n]) );

     return ;

 }