HDU4010

类比静态区间问题->动态区间问题的拓展

我们这里把区间变成树，树上的写改删查问题，最最最常用LCT解决

LCT用来维护动态的森林，对于森林中的每一棵树，用Splay维护。

LCT是把这些Splay关联在一起的数据结构

我们以HDU4010为例子

int n,m,cnt,top;

bool rev[maxn];

int mx[maxn],fa[maxn],v[maxn],tag[maxn],last[maxn],q[maxn];

int c[maxn][];

struct edge{int to,next;}e[maxn<<];

这里把树存成了图，邻接表表示，对于森林中的每一棵树，用Splay来维护

mx,fa,v,tag,c和Splay相关，q是个栈用来预处理fa还有协助Splay操作（具体问题请参考本站Splay的那篇介绍）

这里树边为双向边，在遍历的时候注意判断

接下来介绍LCT中的一些概念和实现：

void access(int x)

{

    for(int t=;x;t=x,x=fa[x])

        splay(x),c[x][]=t,update(x);

}

这个access的意思是专门开辟一条从根到x的路径，将其作为“重链”，并使用Splay来进行维护

如果x往下是重边，就将其变成轻边，这样这条重链就独立出来了

void makeroot(int x)

{

    access(x);splay(x);rev[x]^=;

}

这个makeroot的意思是把某一个节点变成整个LCT的根，这个操作配合access操作就可以方便地提取LCT任意两点之间的路径了

void link(int x,int y)

{

    makeroot(x);fa[x]=y;

}

Link-Cut Tree中的link,这个的意思就是连接两棵LCT

void cut(int x,int y)

{

    makeroot(x);access(y);splay(y);

    c[y][]=fa[c[y][]]=;update(y);

}

这个的意思就是把一棵LCT分离成两棵LCT

还有一个find函数：

int find(int x)

{

    access(x);splay(x);

    while(c[x][]) x=c[x][];

    return x;

}

作用类似于并查集，用来判断一个点到底在哪棵LCT上面

还有一个操作是把一条路径的点权增大val

void add(int x,int y,int val)

{

    makeroot(x);access(y);splay(y);

    tag[y]+=val;mx[y]+=val;v[y]+=val;

}

最后给出求路径上最值的方法：

makeroot(x);access(y);splay(y);printf("%d\n",mx[y]);

先把x提取到LCT的根，然后打通到y的路径，然后把y伸展到根直接查询mx[y]即可

我们在进行题目所描述的一系列操作的时候，是需要前提的

link操作只能连接两棵不同的LCT，否则树就不是树了

cut操作只能cut在同一棵LCT上否则没有意思

add操作也只能在同一棵LCT上进行

查询也是如此

其实，修改查询的操作都可以原生态地使用LCT的辅助树：Splay来完成

而对于树的动态操作，一定要借助于LCT的函数来完成

最后给出完整的代码：

 #include<cstdio>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 const int INF=;

 const int maxn=;

 int read()

 {

     int x=;char ch=getchar();

     while(ch<''||ch>'') ch=getchar();

     while(ch>=''&&ch<='') {x=x*+ch-'';ch=getchar();}

     return x;

 }

 int n,m,cnt,top;

 bool rev[maxn];

 int mx[maxn],fa[maxn],v[maxn],tag[maxn],last[maxn],q[maxn];

 int c[maxn][];

 struct edge{int to,next;}e[maxn<<];

 void insert(int u,int v)

 {

     e[++cnt].to=v;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;

     e[++cnt].to=u;e[cnt].next=last[v];last[v]=cnt;

 }

 void update(int x)

 {

     int l=c[x][],r=c[x][];

     mx[x]=max(mx[l],mx[r]);

     mx[x]=max(mx[x],v[x]);

 }

 void pushdown(int x)

 {

     int l=c[x][],r=c[x][];

     if(rev[x])

     {

         rev[l]^=;rev[r]^=;rev[x]^=;

         swap(c[x][],c[x][]);

     }

     if(tag[x])

     {

         if(l){tag[l]+=tag[x];mx[l]+=tag[x];v[l]+=tag[x];}

         if(r){tag[r]+=tag[x];mx[r]+=tag[x];v[r]+=tag[x];}

         tag[x]=;

     }

 }

 bool isroot(int x)

 {

     return c[fa[x]][]!=x&&c[fa[x]][]!=x;

 }

 void rotate(int x)

 {

     int y=fa[x],z=fa[y],l,r;

     if(c[y][]==x)l=;else l=;r=l^;

     if(!isroot(y))

     {

         if(c[z][]==y)c[z][]=x;

         else c[z][]=x;

     }

     fa[x]=z;fa[y]=x;fa[c[x][r]]=y;

     c[y][l]=c[x][r];c[x][r]=y;

     update(y);update(x);

 }

 void splay(int x)

 {

     top=;q[++top]=x;

     for(int i=x;!isroot(i);i=fa[i])

         q[++top]=fa[i];

     while(top)pushdown(q[top--]);

     while(!isroot(x))

     {

         int y=fa[x],z=fa[y];

         if(!isroot(y))

         {

             if(c[y][]==x^c[z][]==y)rotate(x);

             else rotate(y);

         }

         rotate(x);

     }

 }

 void access(int x)

 {

     for(int t=;x;t=x,x=fa[x])

         splay(x),c[x][]=t,update(x);

 }

 void makeroot(int x)

 {

     access(x);splay(x);rev[x]^=;

 }

 void link(int x,int y)

 {

     makeroot(x);fa[x]=y;

 }

 void cut(int x,int y)

 {

     makeroot(x);access(y);splay(y);

     c[y][]=fa[c[y][]]=;update(y);

 }

 int find(int x)

 {

     access(x);splay(x);

     while(c[x][]) x=c[x][];

     return x;

 }

 void add(int x,int y,int val)

 {

     makeroot(x);access(y);splay(y);

     tag[y]+=val;mx[y]+=val;v[y]+=val;

 }

 int main()

 {

     while(scanf("%d",&n)!=EOF)

     {

         for(int i=;i<=n;i++)

             last[i]=tag[i]=rev[i]=fa[i]=c[i][]=c[i][]=;

         mx[]=-INF;cnt=;

         for(int i=;i<n;i++)

         {

             int u=read(),v=read();

             insert(u,v);

         }

         for(int i=;i<=n;i++) mx[i]=v[i]=read();

             q[++top]=;

         for(int k=;k<=top;k++)

         {

             int now=q[k];

             for(int i=last[now];i;i=e[i].next)

             {

                 if(e[i].to!=fa[now])

                 {

                     fa[e[i].to]=now;

                     q[++top]=e[i].to;

                 }

             }

         }

         m=read();

         while(m--)

         {

             int opt=read(),x=read(),y=read(),w;

             switch(opt)

             {

                 case :

                     if(find(x)==find(y)) {puts("-1");break;}

                     link(x,y);break;

                 case :

                     if(find(x)!=find(y)||x==y) {puts("-1");break;}

                     cut(x,y);break;

                 case :

                     w=x;x=y;y=read();

                     if(find(x)!=find(y)) {puts("-1");break;}

                     add(x,y,w);break;

                 case :

                     if(find(x)!=find(y)){puts("-1");break;}

                     makeroot(x);access(y);splay(y);printf("%d\n",mx[y]);break;

             }

         }

         puts("");

     }

     return ;

 }
 #include<cstdio>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 const int INF=;

 const int maxn=;

 int read()

 {

     int x=;char ch=getchar();

     while(ch<''||ch>'') ch=getchar();

     while(ch>=''&&ch<='') {x=x*+ch-'';ch=getchar();}

     return x;

 }

 int n,m,cnt,top;

 bool rev[maxn];

 int mx[maxn],fa[maxn],v[maxn],tag[maxn],last[maxn],q[maxn];

 int c[maxn][];

 struct edge{int to,next;}e[maxn<<];

 void insert(int u,int v)

 {

     e[++cnt].to=v;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;

     e[++cnt].to=u;e[cnt].next=last[v];last[v]=cnt;

 }

 void update(int x)

 {

     int l=c[x][],r=c[x][];

     mx[x]=max(mx[l],mx[r]);

     mx[x]=max(mx[x],v[x]);

 }

 void pushdown(int x)

 {

     int l=c[x][],r=c[x][];

     if(rev[x])

     {

         rev[l]^=;rev[r]^=;rev[x]^=;

         swap(c[x][],c[x][]);

     }

     if(tag[x])

     {

         if(l){tag[l]+=tag[x];mx[l]+=tag[x];v[l]+=tag[x];}

         if(r){tag[r]+=tag[x];mx[r]+=tag[x];v[r]+=tag[x];}

         tag[x]=;

     }

 }

 bool isroot(int x)

 {

     return c[fa[x]][]!=x&&c[fa[x]][]!=x;

 }

 void rotate(int x)

 {

     int y=fa[x],z=fa[y],l,r;

     if(c[y][]==x)l=;else l=;r=l^;

     if(!isroot(y))

     {

         if(c[z][]==y)c[z][]=x;

         else c[z][]=x;

     }

     fa[x]=z;fa[y]=x;fa[c[x][r]]=y;

     c[y][l]=c[x][r];c[x][r]=y;

     update(y);update(x);

 }

 void splay(int x)

 {

     top=;q[++top]=x;

     for(int i=x;!isroot(i);i=fa[i])

         q[++top]=fa[i];

     while(top)pushdown(q[top--]);

     while(!isroot(x))

     {

         int y=fa[x],z=fa[y];

         if(!isroot(y))

         {

             if(c[y][]==x^c[z][]==y)rotate(x);

             else rotate(y);

         }

         rotate(x);

     }

 }

 void access(int x)

 {

     for(int t=;x;t=x,x=fa[x])

         splay(x),c[x][]=t,update(x);

 }

 void makeroot(int x)

 {

     access(x);splay(x);rev[x]^=;

 }

 void link(int x,int y)

 {

     makeroot(x);fa[x]=y;

 }

 void cut(int x,int y)

 {

     makeroot(x);access(y);splay(y);

     c[y][]=fa[c[y][]]=;update(y);

 }

 int find(int x)

 {

     access(x);splay(x);

     while(c[x][]) x=c[x][];

     return x;

 }

 void add(int x,int y,int val)

 {

     makeroot(x);access(y);splay(y);

     tag[y]+=val;mx[y]+=val;v[y]+=val;

 }

 int main()

 {

     while(scanf("%d",&n)!=EOF)

     {

         for(int i=;i<=n;i++)

             last[i]=tag[i]=rev[i]=fa[i]=c[i][]=c[i][]=;

         mx[]=-INF;cnt=;

         for(int i=;i<n;i++)

         {

             int u=read(),v=read();

             insert(u,v);

         }

         for(int i=;i<=n;i++) mx[i]=v[i]=read();

             q[++top]=;

         for(int k=;k<=top;k++)

         {

             int now=q[k];

             for(int i=last[now];i;i=e[i].next)

             {

                 if(e[i].to!=fa[now])

                 {

                     fa[e[i].to]=now;

                     q[++top]=e[i].to;

                 }

             }

         }

         m=read();

         while(m--)

         {

             int opt=read(),x=read(),y=read(),w;

             switch(opt)

             {

                 case :

                     if(find(x)==find(y)) {puts("-1");break;}

                     link(x,y);break;

                 case :

                     if(find(x)!=find(y)||x==y) {puts("-1");break;}

                     cut(x,y);break;

                 case :

                     w=x;x=y;y=read();

                     if(find(x)!=find(y)) {puts("-1");break;}

                     add(x,y,w);break;

                 case :

                     if(find(x)!=find(y)){puts("-1");break;}

                     makeroot(x);access(y);splay(y);printf("%d\n",mx[y]);break;

             }

         }

         puts("");

     }

     return ;

 }
 #include<cstdio>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 const int INF=;

 const int maxn=;

 int read()

 {

     int x=;char ch=getchar();

     while(ch<''||ch>'') ch=getchar();

     while(ch>=''&&ch<='') {x=x*+ch-'';ch=getchar();}

     return x;

 }

 int n,m,cnt,top;

 bool rev[maxn];

 int mx[maxn],fa[maxn],v[maxn],tag[maxn],last[maxn],q[maxn];

 int c[maxn][];

 struct edge{int to,next;}e[maxn<<];

 void insert(int u,int v)

 {

     e[++cnt].to=v;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;

     e[++cnt].to=u;e[cnt].next=last[v];last[v]=cnt;

 }

 void update(int x)

 {

     int l=c[x][],r=c[x][];

     mx[x]=max(mx[l],mx[r]);

     mx[x]=max(mx[x],v[x]);

 }

 void pushdown(int x)

 {

     int l=c[x][],r=c[x][];

     if(rev[x])

     {

         rev[l]^=;rev[r]^=;rev[x]^=;

         swap(c[x][],c[x][]);

     }

     if(tag[x])

     {

         if(l){tag[l]+=tag[x];mx[l]+=tag[x];v[l]+=tag[x];}

         if(r){tag[r]+=tag[x];mx[r]+=tag[x];v[r]+=tag[x];}

         tag[x]=;

     }

 }

 bool isroot(int x)

 {

     return c[fa[x]][]!=x&&c[fa[x]][]!=x;

 }

 void rotate(int x)

 {

     int y=fa[x],z=fa[y],l,r;

     if(c[y][]==x)l=;else l=;r=l^;

     if(!isroot(y))

     {

         if(c[z][]==y)c[z][]=x;

         else c[z][]=x;

     }

     fa[x]=z;fa[y]=x;fa[c[x][r]]=y;

     c[y][l]=c[x][r];c[x][r]=y;

     update(y);update(x);

 }

 void splay(int x)

 {

     top=;q[++top]=x;

     for(int i=x;!isroot(i);i=fa[i])

         q[++top]=fa[i];

     while(top)pushdown(q[top--]);

     while(!isroot(x))

     {

         int y=fa[x],z=fa[y];

         if(!isroot(y))

         {

             if(c[y][]==x^c[z][]==y)rotate(x);

             else rotate(y);

         }

         rotate(x);

     }

 }

 void access(int x)

 {

     for(int t=;x;t=x,x=fa[x])

         splay(x),c[x][]=t,update(x);

 }

 void makeroot(int x)

 {

     access(x);splay(x);rev[x]^=;

 }

 void link(int x,int y)

 {

     makeroot(x);fa[x]=y;

 }

 void cut(int x,int y)

 {

     makeroot(x);access(y);splay(y);

     c[y][]=fa[c[y][]]=;update(y);

 }

 int find(int x)

 {

     access(x);splay(x);

     while(c[x][]) x=c[x][];

     return x;

 }

 void add(int x,int y,int val)

 {

     makeroot(x);access(y);splay(y);

     tag[y]+=val;mx[y]+=val;v[y]+=val;

 }

 int main()

 {

     while(scanf("%d",&n)!=EOF)

     {

         for(int i=;i<=n;i++)

             last[i]=tag[i]=rev[i]=fa[i]=c[i][]=c[i][]=;

         mx[]=-INF;cnt=;

         for(int i=;i<n;i++)

         {

             int u=read(),v=read();

             insert(u,v);

         }

         for(int i=;i<=n;i++) mx[i]=v[i]=read();

             q[++top]=;

         for(int k=;k<=top;k++)

         {

             int now=q[k];

             for(int i=last[now];i;i=e[i].next)

             {

                 if(e[i].to!=fa[now])

                 {

                     fa[e[i].to]=now;

                     q[++top]=e[i].to;

                 }

             }

         }

         m=read();

         while(m--)

         {

             int opt=read(),x=read(),y=read(),w;

             switch(opt)

             {

                 case :

                     if(find(x)==find(y)) {puts("-1");break;}

                     link(x,y);break;

                 case :

                     if(find(x)!=find(y)||x==y) {puts("-1");break;}

                     cut(x,y);break;

                 case :

                     w=x;x=y;y=read();

                     if(find(x)!=find(y)) {puts("-1");break;}

                     add(x,y,w);break;

                 case :

                     if(find(x)!=find(y)){puts("-1");break;}

                     makeroot(x);access(y);splay(y);printf("%d\n",mx[y]);break;

             }

         }

         puts("");

     }

     return ;

 }

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