Codeforce 811 C. Vladik and Memorable Trip 解析(思維、DP)

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題目

給你一個數列,一個區段的數列的值是區段內所有相異數的\(XOR\)總和。你可以選任意多的區段,求最大的所有區段的值的總和。然而所有同樣的數字不是完全沒有被包含在區段裡,不然就是要全部在同個區段裡。

前言

這題我一直到看了解答才知道為什麼不是\(O(n)\),題目一直沒搞清楚

想法

這題的難點在,很難用\(O(n^2)\)以下找到一個真正的可行的區段。

此題的做法是線性DP,\(dp[i]\)為考慮到數列的第\(i\)個時的解答,而要計算\(i+1\),我們只需要多考慮是否有個區段是在\(i+1\)結尾。

首先可以\(O(n)\)得到每個數字最左和最右邊在哪裡,每當要計算\(dp[i+1]\)時,先看看\(i+1\)這個位置是否是某個數字的最右的位置,接著從\(i+1\)位置開始往回看,如果目前看的元素的最右位置超出\(i+1\),代表目前\(i+1\)不可能是某個區段的結尾,那麼\(dp[i+1]=dp[i]\);如果一切正常,直到目前位置已經到了目前看過的所有元素的最左位置,就代表我們已經找到一個結尾在\(i+1\)的區段了,此時\(dp[i+1]=\max\{dp[i],區段的\)XOR\(+\)dp[區段的最左-1]\(\}\)

官方解答有個Challenge,利用\(a\oplus b\le a+b\),可以應付\(n,a[i]\le1e5\)的情況,待之後想到再補吧!

程式碼:

const int _n=5010;
int t,n,a[_n],dp[_n];
bool vis[_n],has[_n];
PII alr[_n];
main(void) {ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n;rep(i,1,n+1){
cin>>a[i];if(!alr[a[i]].fi)alr[a[i]].fi=i;
alr[a[i]].se=i;
}rep(i,1,n+1)if(alr[a[i]].se==i)has[i]=1;
dp[0]=0,dp[1]=(has[1]?a[1]:0);rep(i,2,n+1){
dp[i]=dp[i-1];
if(has[i]){
int val=0,L=alr[a[i]].fi;memset(vis,0,sizeof vis);
int j=i;while(j>=L){
if(alr[a[j]].se>i)goto A;
L=min(L,alr[a[j]].fi);
if(!vis[a[j]])val^=a[j],vis[a[j]]=1;j--;
}
dp[i]=max(dp[i],val+dp[L-1]);
}
A:;
}cout<<dp[n]<<'\n';
return 0;
}

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