假设检验:p-value,FDR,q-value
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(严超赣老师在DPARSF的教学视频中对为什么要进行FDR校正进行了详细的举例说明:
“单个体素,p = 0.05,即犯错概率为5%。但如果要对五个体素一起校正,那么犯错误概率就会变成 p = 1 - (0.95)^5 = 0.23。这样的话很容易就会出现“假阳性(false positive)”,即H0被错误拒绝的情况。再换句话说,随着体素数目增多,Ⅰ型错误(“弃真”错误)的概率增大了。但这种情况下,即使出现H0被拒绝,我们也不能说H0为假。为了控制这种情况。最简单的方法是把每个体素p值都减小,例如bonferroni's correction:假设需要所有5个体素犯错误概率为0.05,那么控制每个体素p = 0.05/5 = 0.01。但这种方法太严格,如果体素较多,例如100个,那么控制每个体素p = 0.005已经很难,更别说大脑中动辄上万个体素了。所以我们一般考虑其他更灵活的矫正方式,如FWE、FDR以及AlphaSim。”)
1. 按照和p-value类似的定义,Storey给出了q-value的定义。
3. 和BH控制不同,q值和pFDR正好相反,即通过选定的拒绝域Talpha去估计对应的q值,当q小于等于alpha时,可保证FDr小于等于alpha。Storey给出了关于q值和pFDR的估计算法。
4. 根据p-value或q-value可以计算对应的FDR,多重假设检验中拒绝H0的次数。
5. BH计算错误发现率时具有保守性,即在降低假阳性的同时,也减少了正确的假设。为此可采用q-value用于FDR计算。
在此加入严超赣老师在DPARSF教学视频中对FDR讲解(下图来自于视频PPT):
V:本来无显著差别的“宣布为”有显著差别,即错误判断的个数;R:总共报告有显著差别的个数。
则V/R代表:犯错误的几率。
那么FDR = E(V/R)表示:在所有报告有显著差异的个体中可能误报的比例,即Q value。
举例:Q = 0.05,那么报告了100个显著差异体素,其中最多有5个是实际上无显著差异的。
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FDR错误控制法是Benjamini于1995年提出一种方法,通过控制FDR(False Discovery Rate)来决定P值的域值. 假设你挑选了R个差异表达的基因,其中有S个是真正有差异表达的,另外有V个其实是没有差异表达的,是假阳性的。实践中希望错误比例Q=V/R平均而言不能超过某个预先设定的值(比如0.05),在统计学上,这也就等价于控制FDR不能超过5%.
对所有候选基因的p值进行从小到大排序,则若想控制fdr不能超过q,则只需找到最大的正整数i,使得 p(i)<= (i*q)/m.然后,挑选对应p(1),p(2),...,p(i)的基因做为差异表达基因,这样就能从统计学上保证fdr不超过q。因此,FDR的计算公式如下:
q-value(i)=p(i)*length(p)/rank(p)
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