[总结]Floyd算法及其应用

目录

• 一、Floyd算法
• 二、Floyd算法的应用
  • 1. 传递闭包
    • 例1：P2881 [USACO07MAR]排名的牛Ranking the Cows
    • 例2：P2419 [USACO08JAN]牛大赛Cow Contest
  • 2.快速求出多源最短路
    • 例1：P1522 牛的旅行 Cow Tours
  • 3.解决双权值问题
    • 例1：P1119 灾后重建

---

一、Floyd算法

如何求任意两点最短路？我们可以运行n次SPFA或Dijkstra求得，

而Floyd算法能在\(O(N^3)\)的时间复杂度内求出图中任意两点的最短路(多源最短路)，且代码十分简短。

Floyd算法(弗洛伊德算法)的本质是动态规划。设\(f(k,i,j)\)表示"由若干个编号不超过k的节点中转后"从\(i\)到\(j\)的最短路。

该"动态规划"有两个决策，一是经过编号不超过\(k-1\)的节点由\(i\)到\(j\)，二是先由\(i\)到\(k\)，再由\(k\)到\(j\)。

我们很容易写出此时的转移方程：

\[f(k,i,j)=min(f(k-1,i,j),f(k-1,i,k)+f(k-1,k,j))
\]

初始\(f\)数组所有值均为正无穷，随后令\(f(0,i,j)=maps(i,j)\)，其中\(map(i,j)\)为邻接矩阵。

由于\(k\)是动态规划的阶段，因此\(k\)为最外层循环，可以得到如下代码：

inline void floyd(){
	for(int k=1;k<=n;k++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]);
}

算法最终\(f(n,i,j),i\in [1,n],j\in [1,n]\)为最终答案。

显然三维数组\(f\)在高强度数据下爆内存，使得该算法失去用途。我们发现，求出\(f(k,i,j)\)只与\(f\)的\(k-1\)层有关，因此我们可以用滚动数组的方式将第一维滚去，此时的转移方程为：

\[f(i,j)=min(f(i,j),f(i,k)+f(k,j))
\]

最终\(f(i,j),i\in [1,n],j\in [1,n]\)就保存了由\(i\)到\(j\)的最短路。

最终Floyd的主体部分：

for(int k=1;k<=n;k++)
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);

模板：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[100][100],n,m;
int main()
{

	scanf("%d%d",&n,&m);
	memset(f,127,sizeof(f));
	for(int i=1,u,w,v;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		f[u][v]=min(w,f[u][v]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=0;
	for(int k=1;k<=n;k++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
					f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++)
			printf("%d ",f[i][j]);
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

二、Floyd算法的应用

1. 传递闭包

给出若干个元素以及他们的两两关系，如果这些元素具有传递性，我们就可以推出尽可能多的元素之间的关系。

解决"利用元素的传递性求出尽可能多的元素的关系"这类问题的算法就叫做传递闭包。

此时\(f(i,j)\)数组的意义(这里为link数组)变为\((i,j)\)是否具有关系，有关系\(f(i,j)=1\)，无关系\(f(i,j)=0\)。

例如，利用传递闭包可以快速地求出图中两点是否可以直接/间接到达。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int link[1000][1000];
int main()
{
	int m,n,u,v,w,ans=0;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		link[u][v]=1;//u->v可达
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) link[i][i]=1;//自己到自己可达
	for(int k=1;k<=n;k++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++){
				link[i][j]=link[i][j]||(link[i][k]&&link[k][j]);
				//link[i][j]=link[i][j]|(link[i][k]&link[k][j]);
				//这两种写法都可行，具体解释为i，j既可以经过不大于k-1的节点连通，也可以由i经过k中转到j来连通。
			}
	for(int i=1;i<=n;i++){//某两点是否可达
		for(int j=1;j<=n;j++){
			printf("%d ",link[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

除了这种方法，我们还可以使用\(bitset\)代替这个二维数组。

设：\(bitset<1000> link[1000]\)，为长度为1000的一维数组，其中每一格都有长度为1000的二进制串。

其中link可以直接调用这个二进制串的下标，例如\(link[3][5];\)。

此外需要注意的是二进制串中只能存储0或1。

以下列举一些可能会用到的函数：

bitset<100> bs;

bs.count();//返回bs串中1的个数

bs.size()//返回bs串的位数

bs.any()//返回bs串是否有1； bs.none()//返回bs串是否没有1

bs.set()//将bs串全部位变为1； bs.set(p)//将p+1位变为1

bs.reset()//将bs串全部位变为0； bs.reset(p)//将p+1位变为0

bs.flip()//将bs串取反(flip v.快速翻转)； bs.flip(p)//只将p+1位取反

利用\(bitset\)实现的传递闭包(核心代码)：

int m,n,u,v;
int ans=0;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
	scanf("%d%d",&u,&v);
	link[u][v]=1;
}
for(int i=1;i<=n;i++) link[i][i]=1;//自身到自身可达
for(int i=1;i<=n;i++)//Floyd
	for(int j=i+1;j<=n;j++){
		if(link[i][j])//如果i-->j有连接
			link[i]=link[i]|link[j];//那么与i连通的点与j也会连通
	}

例1：P2881 [USACO07MAR]排名的牛Ranking the Cows

相当于给定一张有向图，求出还需要加多少条边才能使这个图连通。

设x强于y，y强于z，那么一定x强于z，由于具有传递性，因此可以用传递闭包来做。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bitset<1010> link[1010];
int main()
{
	int m,n,x,y,ans=0;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		link[x][y]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) link[i][i]=1;
	for(int k=1;k<=n;k++)
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(link[i][k])
				link[i]=link[i]|link[k];
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)	ans=ans+link[i].count();
	ans-=n;//减去自己与自己连通的边数
	printf("%d",n*(n-1)/2-ans);
	return 0;
}

例2：P2419 [USACO08JAN]牛大赛Cow Contest

每头牛编程强度同样具有传递性，因此可以确定尽量多的每头牛之间的两两关系。

如果一头牛与其他的任意一头牛都能确定关系，那么我们就能知道这头牛的能力排名。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[120][120];
int main()
{
	int m,n;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		f[u][v]=1;
	}
	for(int k=1;k<=n;k++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++){
				f[i][j]=f[i][j]|(f[i][k]&f[k][j]);
		}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int cnt=1;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(i==j) continue;
			if(!f[i][j]&&!f[j][i]){//与其他牛的关系都能确定
				cnt=0;break;
			}
		}
		ans+=cnt;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

2.快速求出多源最短路

例1：P1522 牛的旅行 Cow Tours

利用Floyd算法快速求出任意两点的最短路，以便求出任一点到其他点的最远距离。

此时对不连通的牧场增添一条边来更新直径。

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 200010
using namespace std;
double f[200][200],x[200],y[200];
double len[200],glen,glen2=INF;
int n;char ch;
inline double calc_dis(int a,int b){
	return sqrt((x[a]-x[b])*(x[a]-x[b])+(y[a]-y[b])*(y[a]-y[b]));
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)//初始化f数组
	 	for(int j=1;j<=n;j++){
	 		cin>>ch;
			if(ch=='1') f[i][j]=calc_dis(i,j);
			else if(i!=j) f[i][j]=INF;
	 	}
	for(int k=1;k<=n;k++)//最短路
		for(int i=1;i<=n;i++)
	 		for(int j=1;j<=n;j++){
	 			f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
	 		}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++) if(f[i][j]<INF) len[i]=max(len[i],f[i][j]);//求出该点到其他点的最大距离
		glen=max(glen,len[i]);//求出原图的直径
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)//对不连通的牧场连一条边
			if(f[i][j]>=INF) glen2=min(glen2,len[i]+calc_dis(i,j)+len[j]);//求出连边后最小的直径
	cout<<fixed<<setprecision(6)<<max(glen2,glen);
	return 0;
}

3.解决双权值问题

在解决双权值问题时，如果我们同时考虑两个权值会显得很麻烦。

此时应该枚举一个权值再计算另外一个权值。

利用Floyd算法解决双权值问题的核心在于巧妙地变化最外层循环k的含义。

我们之前已经提到过，Floyd求出\(i\)到\(j\)的最短路是不断由节点\(k\)中转更新得到的，即\(i\)，\(j\)的最短路经过节点不断\(1,2,...,k-1,k\)松弛得到。

此时相当于不断枚举节点k，来更新i，j的最短路。

例1：P1119 灾后重建

每个村庄都有建成的时间，同时询问节点\(x\)到节点\(y\)通车最短距离。

我们知道原Floyd算法中\(k\)的意义是：

• 对于此时枚举的\(k\)，任意节点\(i\)，\(j\)只允许通过编号不大于\(k\)的节点更新最短路。

因为本题中有只有在询问的时间内修好的村庄才允许通车，此时\(k\)的意义为：

• 对于此时枚举的\(k\)，任意节点\(i\)，\(j\)只允许通过建成时间小于询问时间的节点更新最短路。

这与Floyd算法中\(k\)循环的思路相同，因此可以使用Floyd算法解决。

剩余需要注意的地方：

1. 本题包含节点0。
2. 由于题目的询问时间具有单调性，所以只要不断枚举此时可用于更新的节点\(k\)即可。
3. 若\(i\)，\(j\)经过节点\(k\)更新，则节点\(k\)需要打上标记避免下次重复无意义地进入循环(会TLE)。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int vis[201],n,m,q;;
int t[201],f[201][201],tot;
int from[50001],to[50001],day[50001];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&t[i]);//第i个村庄修好的日期
	for(int i=0;i<n;i++) for(int j=0;j<n;j++) f[i][j]=INF;
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        f[u][v]=f[v][u]=w;
    }
    for(int i=0;i<n;i++) f[i][i]=0;
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1;i<=q;i++)//询问 ,第day[i]天从from[i]到to[i]的最短路
        scanf("%d%d%d",&from[i],&to[i],&day[i]);
    for(int num=1;num<=q;num++){//对于每个询问
        for(int k=0;k<n;k++)
            if(t[k]<=day[num]&&!vis[k]){//i，j经由建成时间小于询问时间的节点k来更新最短路
                vis[k]=1;//做标记
                for(int i=0;i<n;i++)
                    for(int j=0;j<n;j++)
                        f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);//求得最短路
            }
        if(f[from[num]][to[num]]!=INF&&t[from[num]]<=day[num]&&t[to[num]]<=day[num])
        //此时询问的节点连通，且起点与终点的建成时间不大于询问的时间才有答案
            printf("%d\n",f[from[num]][to[num]]);
        else printf("-1\n");//不能通车
    }
    return 0;
}

---