数学--数论--直角三角形--勾股数---奇偶数列法则 a^2+b^2=c^2

先说勾股数：

勾股数，又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）

勾股数规律：

首先是奇数组口诀：平方后拆成连续两个数。

其次是偶数组口诀：平方的一半再拆成差2的两个数。

我们深挖一下口诀

定理： 如a^2+b2=c^2是直角三角形的三个整数边长，则必有如下a值的奇数列、偶数列关系成立；

1.直角三角形a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2奇数列a法则：

若a表为2n+1型奇数（n=1、2、3 …）， 则a为奇数列平方整数解的关系是：

a=2n+1b=n2+（n+1）2−1c=n2+（n+1）2a=2n+1 \\
b= n^2+（n+1）^2-1 \\
c= n^2+（n+1）^2a=2n+1b=n2+（n+1）2−1c=n2+（n+1）2

证明：

由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a2+b2=c2关系成立。现将奇数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式：（2n+1）2+（n2+（n+1）2−1）2=（n2+（n+1）2）2由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立。\\
现将奇数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式： \\
（2n+1）^2+（n^2+（n+1）^2-1）^2=（n^2+（n+1）^2）^2由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a2+b2=c2关系成立。现将奇数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式：（2n+1）2+（n2+（n+1）2−1）2=（n2+（n+1）2）2

化简后得到：4n4+8n3+8n2+4n+1=4n4+8n3+8n2+4n+1即等式关系成立；由法则条件分别取n=1、2、3…时得到了：32+42=5252+122=13272+242=25292+402=412112+602=612132+842=852故得到奇数列a法则成立化简后得到： 4n^4+8n^3+8n^2+4n+1=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1
即等式关系成立； \\
由法则条件分别取n=1、2、3 … 时得到了： \\
3^2+4^2=5^2 \\
5^2+12^2=13^2 \\
7^2+24^2=25^2 \\
9^2+40^2=41^2 \\
11^2+60^2=61^2 \\
13^2+84^2=85^2\\
故得到奇数列a法则成立化简后得到：4n4+8n3+8n2+4n+1=4n4+8n3+8n2+4n+1即等式关系成立；由法则条件分别取n=1、2、3…时得到了：32+42=5252+122=13272+242=25292+402=412112+602=612132+842=852故得到奇数列a法则成立

2.直角三角形a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2的偶数列a法则：

若a表为2n型偶数（n=2、3、4…）， 则a为偶数列平方整数解的关系是：

a=2nb=n2−1c=n2+1a= 2n \\
b= n^2 -1 \\
c= n^2+1a=2nb=n2−1c=n2+1

证明：

由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a2+b2=c2关系成立.现将偶数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式：(2n）2+（n2−1）2=（n2+1）2化简后得到：n4+2n2+1=n4+2n2+1即等式关系成立；（这里需要说明，当取n=1时，有b=n2–1=1−1=0，此时失去三角形意义，故只能取n=2、3、4…）由法则条件分别取n=2、3、4…时得到了：42+32=5262+82=10282+152=172102+242=262122+352=372142+482=502故得到偶数列a关系成立由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立.\\现将偶数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式： \\
(2n）^2+（n^2-1）^2=（n^2+1）^2 \\
化简后得到： \\
n^4+2n^2+1= n^4+2n^2+1 \\
即等式关系成立； \\
（这里需要说明，当取n=1时，有b= n2 –1=1-1=0，此时失去三角形意义，故只能取n=2、3、4…） \\
由法则条件分别取n=2、3、4 … 时得到了： \\
4^2+3^2=5^2 \\
6^2+8^2=10^2 \\
8^2+15^2=17^2 \\
10^2+24^2=26^2 \\
12^2+35^2=37^2 \\
14^2+48^2=50^2 \\
故得到偶数列a关系成立由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a2+b2=c2关系成立.现将偶数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式：(2n）2+（n2−1）2=（n2+1）2化简后得到：n4+2n2+1=n4+2n2+1即等式关系成立；（这里需要说明，当取n=1时，有b=n2–1=1−1=0，此时失去三角形意义，故只能取n=2、3、4…）由法则条件分别取n=2、3、4…时得到了：42+32=5262+82=10282+152=172102+242=262122+352=372142+482=502故得到偶数列a关系成立