2016北京集训测试赛（十七）Problem A: crash的游戏

Solution

相当于要你计算这样一个式子:

\[\sum_{x = 0}^m \left( \begin{array}{} m \\ x \end{array} \right) \left( \begin{array}{} k \\ n - m + 2x \end{array}{} \right)
\]

考虑到\(m\)非常大, 而\(k\)却比较小, 我们尝试将\(x\)的\(m\)相关转化为\(k\)相关. 我们用如下现实意义来考虑: 令\(N = n - m\), 则我们相当于有两堆球, 第一堆球以单个球为单位, 总共\(N\)个, 我们要在其中取出\(i\)个; 第二堆球以一对球连在一起为单位, 总共有\(m\)对, 我们要在其中取出任意多对球, 拆开放入第一堆中, 然后问你在第一堆中取\(k\)个球总共有多少种的方案.

这个问题仍然不好解决, 我们继续考虑: 我们假设这\(k\)个球中, 总共用了第二堆球中的\(j\)对. 也就是说, 这\(k\)个球中\(i\)个是在第一堆中取来的, 剩下\(k - i\)个用到了第二堆中的\(j\)对球, 其中每一对既有可能被用了一个, 也有可能用了两个. 考虑方案数: 在第一堆中取\(i\)个显然就是\(\left( \begin{array}{} N \\ i \end{array}{} \right)\); 我们用f[i][j]来表示在第2堆中用到\(i\)对, 并且总共取出\(j\)个球的方案数, 考虑\(f[i][j]\)的递归式:

\[f[i][j] = f[i - 1][j - 1] \times 2 + f[i - 1][j - 2]
\]

这样以来, 总共的方案数就是

\[\sum_i \sum_j \left( \begin{array}{} N \\ i \end{array}{} \right) f[i][N - k]
\]

考虑到询问有\(500\)组, 我们要作一些预处理, 记忆化某些信息.

#include <cstdio>
#include <cctype>

namespace Zeonfai
{
    inline int getInt()
    {
        int a = 0, sgn = 1; char c;
        while(! isdigit(c = getchar())) if(c == '-') sgn *= -1;
        while(isdigit(c)) a = a * 10 + c - '0', c = getchar();
        return a * sgn;
    }
}
const int K = 300, MOD = (int)1e9 + 7;
int prod[K + 1], prodInv[K + 1], f[K + 1][K << 2], dwn[K + 1], _dwn[K + 1], pw[K + 1];
inline int power(int a, int x)
{
    if(x < 0) return 0;
    int res = 1;
    for(; x; a = (long long)a * a % MOD, x >>= 1) if(x & 1) res = (long long)res * a % MOD;
    return res;
}
inline int _C(int m)
{
    if(m < 0) return 0;
    return (long long)_dwn[m] * prodInv[m] % MOD;
}
inline int C(int m)
{
    if(m < 0) return 0;
    return (long long)dwn[m] * prodInv[m] % MOD;
}
inline void pretreat()
{
    prod[0] = prodInv[0] = 1; for(int i = 1; i <= K; ++ i) prod[i] = (long long)prod[i - 1] * i % MOD, prodInv[i] = power(prod[i], MOD - 2);
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= K; ++ i) for(int j = 1; j <= i << 1; ++ j) f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] * 2 % MOD + (j >= 2 ? f[i - 1][j - 2] : 0)) % MOD;
}
int main()
{

    #ifndef ONLINE_JUDGE

    freopen("crash.in", "r", stdin);
    freopen("crash.out", "w", stdout);

    #endif

    using namespace Zeonfai;
    pretreat();
    for(int T = getInt(); T --; )
    {
        int n = getInt(), m = getInt(), k = getInt(), ans = 0;
        dwn[0] = 1; dwn[1] = m; for(int i = 2; i <= k; ++ i) dwn[i] = (long long)dwn[i - 1] * (m - i + 1) % MOD;
        _dwn[0] = 1; _dwn[1] = n - m; for(int i = 2; i <= k; ++ i) _dwn[i] = (long long)_dwn[i - 1] * (n - m - i + 1) % MOD;
        for(int i = 0; i <= k; ++ i) pw[i] = power(2, m - i);
        for(int i = 0; i <= k; ++ i)
        {
            int cur = 0;
            for(int j = (k - i + 1) / 2; j <= k - i; ++ j)
                cur = (cur + (long long)C(j) % MOD * pw[j] % MOD * f[j][k - i] % MOD) % MOD;
            ans = (ans + (long long)cur * _C(i) % MOD) % MOD;
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
}