探索c#之递归APS和CPS

累加器传递模式(APS)
CPS函数
CPS变换
CPS尾递归
总结

累加器传递模式(Accumulator passing style)

尾递归优化在于使堆栈可以不用保存上一次的返回地址/状态值，从而把递归函数当成一个普通的函数调用。
递归实际上是依赖上次的值，去求下次的值。如果我们能把上次的值保存起来，在下次调用时传入，而不直接引用函数返回的值。从而使堆栈释放，也就达到了尾递归优化的目的。

下面我们增加了一个acc的参数，它存储上次的值，在下次调用时传入。

static int Accumulate(int acc, int n)
    {
        if (n == )
            return acc;
        return accumulate(acc * n, n - );
    }

使用时Accumulate递归时，我们仅需要使用最后一次的返回值即可。调用如下：

 var ac = Accumulate(, );

使用Lambda表达式实现尾递归阶乘：

 static int AccumulateByLambda(int x)
    {
        Func<int, int, int> accumulate = null;
        accumulate = (acc, n) => n ==  ? acc : Accumulate(acc * n, n - );
        return accumulate(, x);
    }

CPS函数

CPS全称Continuation passing style，中文一般译为后继传递模式。

 static int Times3(int x)
    {
        return x * ;
    }
   Console.WriteLine(Times3());

上面函数将输入值乘以3，我们平常基本上都会这样写。其实我们还可以用返回函数的C#语法，构造嵌套方式，把函数的调用变成调用链times3(3)(5)。

这种方式在数学上或函数式编程中是比较直观的，正常的，但在指令式语言c#中却不是那么直观。

CPS中的后继(Continuation)一词指的是计算的剩余部分，类似times3(3)(5)红色这部分。
例如：表达式a*(b+c)的运算过程有多个计算步骤。可以c#写成下面函数来表示：

Console.WriteLine(Mult(a,Add(b,c)))

操作步骤如下：

b与c相加。
将结果乘以a。
输出结果。

执行1步时，后续操作是2,3。执行2步时，后续操作是3。使用CPS模式来改造下times3函数：

static void Times3CPS(int x, Action<int> continuation)
    {
        continuation(x * );
    }
Times3CPS(, (reslut) => Console.WriteLine(result));

我们增加了一个表示后继操作3的函数参数，调用时传递后续操作，这就是CPS函数。

CPS变换

知道了CPS函数后，再详细看下CPS变换。

Console.WriteLine(Times3());
//CPS变换
Times3CPS(, (reslut) => Console.WriteLine(result));

上面times3函数从直接调，到使用"后继传递操作"的过程就叫做CPS转换。
例如1：MAX函数的转换

static int Max(int n, int m)
{
    if (n > m)
        return n;
    else
        return m;
}
 Console.WriteLine(Max(, ));

我们把这max函数转换成CPS模式，需要下列步骤：
1：返回值修改成void
2：添加一个额外的类型参数 Action，T是原始返回类型。
3：使用后续操作表达式参数替代原来所有返回声明。

static void Max(int n, int m, Action<int> k)
{
    if (n > m)
        k(n);
    else
        k(m);
}
Max(, , x => Console.WriteLine(x));

例如2：假如有3个函数Main、F、G，Main调用F、F调用G。

Console.WriteLine(F() + );
static int F(int n)
{
    return G(n + ) + ;
}
static int G(int n)
{
    return n + ;
}

我们把F和G转换成CPS风格，和Max函数同样的转换步骤：

F(, x => Console.WriteLine(x + ));
static void F(int n, Action<int> k)
{
    G(n + , x => k(x + ));
}
static void G(int n, Action<int> k)
{
    k(n + );
}

CPS尾递归

这是传统的递归阶乘：

static int Factorial(int n)
{
    if (n == )
        return ;
    else
        return n * Factorial(n - );
}

使用同样的步骤，把递归转换成CPS尾递归:

Factorial(, x => Console.WriteLine(x));
static void Factorial(int n, Action<int> continuation)
{
    if (n == )
        continuation();
    else
        Factorial(n - , x => continuation(n * x));
}

老赵-尾递归与Continuation

“计算n的阶乘，并将结果传入continuation方法并返回”，也就是“计算n - 1的阶乘，并将结果与n相乘，再调用continuation方法”。为了实现“并将结果与n相乘，再调用continuation方法”这个逻辑，代码又构造了一个匿名方法，再次传入Factorial方法。

总结

CPS模式是非常强大的，在很多方面都有使用，比如在编译器实现中CPS风格的解析器组合子、函数完成后回调。也可以说是把程序内部原本的控制操作，用CPS方法抽取出来暴露给程序员，例如文中的例子。

参考资料

http://blogs.msdn.com/b/wesdyer/archive/2007/12/22/continuation-passing-style.aspx

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