UVA10655 Contemplation! Algebra —— 推公式、矩阵快速幂
题目链接:https://vjudge.net/problem/UVA-10655
题意:
a+b、ab的值分别为p、q,求a^n+b^n。
题解:
1.a、b未知,且直接求出a、b也不太实际。
2.看到 a^n+b^n 这个式子就想到二阶齐次递推式的通项公式,然后就想是否能通过通项公式反推回递推式。结果发现a、b的值是不能确定是否相等的,而求二阶齐次递推式的通项公式时,是需要根据根的情况来分类求解的,所以此题不适应。
3.那么,就直接对 a^n+b^n 做一下变形:
4.得到递推式之后,就直接构造矩阵,然后快速幂。
代码如下:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int MOD = 1e9+;
const int MAXN = 1e6+; const int Size = ;
struct MA
{
LL mat[Size][Size];
void init()
{
for(int i = ; i<Size; i++)
for(int j = ; j<Size; j++)
mat[i][j] = (i==j);
}
}; MA mul(MA x, MA y)
{
MA ret;
memset(ret.mat, , sizeof(ret.mat));
for(int i = ; i<Size; i++)
for(int j = ; j<Size; j++)
for(int k = ; k<Size; k++)
ret.mat[i][j] += 1LL*x.mat[i][k]*y.mat[k][j];
return ret;
} MA qpow(MA x, LL y)
{
MA s;
s.init();
while(y)
{
if(y&) s = mul(s, x);
x = mul(x, x);
y >>= ;
}
return s;
} int main()
{
LL p, q, n, f[];
while(scanf("%lld%lld%lld", &p,&q,&n)==)
{
f[] = ; f[] = p;
if(n<=)
{
printf("%lld\n", f[n]);
continue;
} MA s;
memset(s.mat, , sizeof(s.mat));
s.mat[][] = p; s.mat[][] = -q;
s.mat[][] = ; s.mat[][] = ; s = qpow(s, n-);
LL ans = 1LL*s.mat[][]*f[] + 1LL*s.mat[][]*f[];
printf("%lld\n", ans);
}
}
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