B树、B++树和Trie树

B树

定义:一个非空M元(也称M阶)B树(R.Bayer,1970年)

满足下列条件:

1)每个结点含有m个元素a1<a2<…<am。含有m个元素的结点有m+1个子树,m称为结点长度

2)结点长度m满足:

根结点,1≤m≤M-1     可以有2~M个子树

非根结点,M/2-1≤m≤M-1

可以有M/2~M个子树

3)结点结构中:

pi(i=0,1,…,m)是指向第i个子树的指针

ai(i=1,…,m)是结点值

对于非叶结点,第0个子树上所有元素都小于a1

第i个子树上的元素x满足ai<x<ai+1(1≤i≤m-1)

第m个子树上所有元素都大于am

4)所有的叶均在同一层上

B树的查找

查找元素x的步骤大致如下:

步骤1)如果当前结点为空,则查找失败

步骤2)在当前结点中查找x

如果找到x,查找成功;

否则

若x<a1,沿p0递归向下查找

若ai<x<ai+1(1≤i<m),沿pi递归向下查找

若x>am,沿pm递归向下查找

B树的插入

插入步骤如下:

步骤1)用查找的方法为x找到所在位置,查找路径终止于某个空树,把x插在其父结点的有序位置上

步骤2)如果插入x后,结点不超长,则插入完毕;

否则,进入下一步超长处理

步骤3)将超长结点一分为二,将“中间元素”递归地插在上层结点中

步骤4)若插入波及到根,当根上溢时,把根一分为二,并将中间元素上移,而产生含单元素的新根,使B树升高。

将超长结点d一分为二的操作方法:

1. 超长结点d的元素达M个,令k=M/2,元素ak作为中间元素。

2. 将排在ak左侧的元素和相应的指针被保留在结点d中。

3. 将排在ak右侧的元素和相应的指针移入新结点e中。

4. 将ak连同指向结点e的指针一起插在d的父结点f中,排在指向结点d的指针右侧。

B树的删除

(1)删除x大体步骤:

步骤1)经查找,在某一结点c中找到x

步骤2)根据x所在位置的不同,作出不同的处理

①如果c是叶,直接从叶中删除x

②如果c是非叶,需要用x的“中序前驱”代替x。

注意:

寻找x的中序前驱:

沿着x左侧子树的最右分枝一直下降到某个叶结点s,结点s中最右元素y便是x的前驱,

用y代替x(复制)后,在结点s中删除y。

步骤3)如果删除后d(d指的是真正删除元素的结点)不下溢,删除结束;否则,进入下一步下溢处理。

步骤4)如果d是根(根变空才算下溢),转步骤9;否则,进入下一步。

步骤5)找d的邻近兄弟e。(现在d下溢,d不是根,d的长度小于M/2-1)。

步骤6)如果e长度未到下限,即多于半满(否则,进入步骤7) ,则从e中借一个元素(连同相应的指针)给d,并应适当地调整d和e之间的那个元素,删除结束。

步骤7)将e合并到d,也就是把e中的元素,以及d和e之父f的那个“中间元素”都加到结点d中,结点e变空,删除空结点e。(也可将d合并到e,而删除d)。

步骤8)如果引起f下溢,令d=f转步骤4;否则删除结束。(因f的元素下移,使f的长度减小)

步骤9)(根的长度变为0)删除根,B树高度下降。

B+树

基本概念

(1)B+树与B树主要区别:

所有的数据元素都存储在叶结点中,非叶结点仅存便于查找的索引信息(索引结点)。

1)第i个子树上的元素x满足ai<x≤ai+1可取等号,与B树不同。

2)叶与非叶具有不同的结点结构。叶结点中可以存放储K/2~K个元素;K的可以与树的元数M相等也可以不等。

注意点:

将叶结点“穿成”有序链表。具有“两套”查找机构。

纵向:沿树枝进行查找;

横向:沿链表顺序查找。

B+树的插入

(1)插入x的大体步骤:

步骤1)从根结点起,沿纵向搜索路径为x找到所在的叶结点d。如果叶d未满,则把x插在叶d的有序位置上,插入完毕;否则,进入下一步。

步骤2)叶d已满,叶长达到K,将d一分为二:

产生新叶e,将d的下部K/2个元素移入e,另一半留在d中。

设d的父亲是f,给f加一个儿子e,e排在d之右侧,将e的最小元素的值加到f中作为新索引项,如果f不超长,则插入结束;否则,进入下一步。

步骤3)将f分裂成f和g,并递归地将g插到上一层中。

步骤4)若插入波及到根,当根上溢时,把根一分为二,并产生新根。

B+树的插入示例:

B+树的删除

(1)删除x的大体步骤:

步骤1)沿根到某叶的一条路径查找x,如果x不存在,删除失败,结束;否则,进入下一步。

步骤2)在x所在叶d中删除x。如果删除x后,叶d不下溢,则删除结束;否则,进入下一步。

步骤3)找叶d的兄弟e。如果e处于半满状态,进入步骤4;

否则,从e中移一个元素给叶d。如果e在d的左侧,则移的是e中最大元素;如果e在d的右侧,则移的是e中最小元素,移走元素的同时,修改上层结点中的索引信息,删除结束。

步骤4)将d合并到e。将d的所有元素都给e,删除d,并相应的修改上层结点中的索引信息,也可将e合并到d。

步骤5)如果删除d不引起其父f的下溢,则删除结束;

否则,将递归地波及到更上层结点,或者可以向其兄弟“借”一个索引项和一个子树,或者与其兄弟合并。如果波及根,根长度为0,删除根,整个树的高度下降,删除非叶结点的大体步骤与B树相同。

删除示例:

Trie树

组织结构:

定义:属于数字查找树,用于按数字或字符索引。像大型字典的“书边标目”。

优点:

1.元素(字符串)存储在叶结点中。

2.非叶结点只存储一个字符作为索引。

3.从根到某个叶的路径上字符组合成的字符串,恰是存储于该叶中的元素值(关键字)。

示例:

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