18B树、B++树和Trie树
B树、B++树和Trie树
B树
定义:一个非空M元(也称M阶)B树(R.Bayer,1970年)
满足下列条件:
1)每个结点含有m个元素a1<a2<…<am。含有m个元素的结点有m+1个子树,m称为结点长度
2)结点长度m满足:
根结点,1≤m≤M-1 可以有2~M个子树
非根结点,M/2-1≤m≤M-1
可以有M/2~M个子树
3)结点结构中:
pi(i=0,1,…,m)是指向第i个子树的指针
ai(i=1,…,m)是结点值
对于非叶结点,第0个子树上所有元素都小于a1
第i个子树上的元素x满足ai<x<ai+1(1≤i≤m-1)
第m个子树上所有元素都大于am
4)所有的叶均在同一层上
B树的查找
查找元素x的步骤大致如下:
步骤1)如果当前结点为空,则查找失败
步骤2)在当前结点中查找x
如果找到x,查找成功;
否则
若x<a1,沿p0递归向下查找
若ai<x<ai+1(1≤i<m),沿pi递归向下查找
若x>am,沿pm递归向下查找
B树的插入
插入步骤如下:
步骤1)用查找的方法为x找到所在位置,查找路径终止于某个空树,把x插在其父结点的有序位置上
步骤2)如果插入x后,结点不超长,则插入完毕;
否则,进入下一步超长处理
步骤3)将超长结点一分为二,将“中间元素”递归地插在上层结点中
步骤4)若插入波及到根,当根上溢时,把根一分为二,并将中间元素上移,而产生含单元素的新根,使B树升高。
将超长结点d一分为二的操作方法:
1. 超长结点d的元素达M个,令k=M/2,元素ak作为中间元素。
2. 将排在ak左侧的元素和相应的指针被保留在结点d中。
3. 将排在ak右侧的元素和相应的指针移入新结点e中。
4. 将ak连同指向结点e的指针一起插在d的父结点f中,排在指向结点d的指针右侧。
B树的删除
(1)删除x大体步骤:
步骤1)经查找,在某一结点c中找到x
步骤2)根据x所在位置的不同,作出不同的处理
①如果c是叶,直接从叶中删除x
②如果c是非叶,需要用x的“中序前驱”代替x。
注意:
寻找x的中序前驱:
沿着x左侧子树的最右分枝一直下降到某个叶结点s,结点s中最右元素y便是x的前驱,
用y代替x(复制)后,在结点s中删除y。
步骤3)如果删除后d(d指的是真正删除元素的结点)不下溢,删除结束;否则,进入下一步下溢处理。
步骤4)如果d是根(根变空才算下溢),转步骤9;否则,进入下一步。
步骤5)找d的邻近兄弟e。(现在d下溢,d不是根,d的长度小于M/2-1)。
步骤6)如果e长度未到下限,即多于半满(否则,进入步骤7) ,则从e中借一个元素(连同相应的指针)给d,并应适当地调整d和e之间的那个元素,删除结束。
步骤7)将e合并到d,也就是把e中的元素,以及d和e之父f的那个“中间元素”都加到结点d中,结点e变空,删除空结点e。(也可将d合并到e,而删除d)。
步骤8)如果引起f下溢,令d=f转步骤4;否则删除结束。(因f的元素下移,使f的长度减小)
步骤9)(根的长度变为0)删除根,B树高度下降。
B+树
基本概念
(1)B+树与B树主要区别:
所有的数据元素都存储在叶结点中,非叶结点仅存便于查找的索引信息(索引结点)。
1)第i个子树上的元素x满足ai<x≤ai+1可取等号,与B树不同。
2)叶与非叶具有不同的结点结构。叶结点中可以存放储K/2~K个元素;K的可以与树的元数M相等也可以不等。
注意点:
将叶结点“穿成”有序链表。具有“两套”查找机构。
纵向:沿树枝进行查找;
横向:沿链表顺序查找。
B+树的插入
(1)插入x的大体步骤:
步骤1)从根结点起,沿纵向搜索路径为x找到所在的叶结点d。如果叶d未满,则把x插在叶d的有序位置上,插入完毕;否则,进入下一步。
步骤2)叶d已满,叶长达到K,将d一分为二:
产生新叶e,将d的下部K/2个元素移入e,另一半留在d中。
设d的父亲是f,给f加一个儿子e,e排在d之右侧,将e的最小元素的值加到f中作为新索引项,如果f不超长,则插入结束;否则,进入下一步。
步骤3)将f分裂成f和g,并递归地将g插到上一层中。
步骤4)若插入波及到根,当根上溢时,把根一分为二,并产生新根。
B+树的插入示例:
B+树的删除
(1)删除x的大体步骤:
步骤1)沿根到某叶的一条路径查找x,如果x不存在,删除失败,结束;否则,进入下一步。
步骤2)在x所在叶d中删除x。如果删除x后,叶d不下溢,则删除结束;否则,进入下一步。
步骤3)找叶d的兄弟e。如果e处于半满状态,进入步骤4;
否则,从e中移一个元素给叶d。如果e在d的左侧,则移的是e中最大元素;如果e在d的右侧,则移的是e中最小元素,移走元素的同时,修改上层结点中的索引信息,删除结束。
步骤4)将d合并到e。将d的所有元素都给e,删除d,并相应的修改上层结点中的索引信息,也可将e合并到d。
步骤5)如果删除d不引起其父f的下溢,则删除结束;
否则,将递归地波及到更上层结点,或者可以向其兄弟“借”一个索引项和一个子树,或者与其兄弟合并。如果波及根,根长度为0,删除根,整个树的高度下降,删除非叶结点的大体步骤与B树相同。
删除示例:
Trie树
组织结构:
定义:属于数字查找树,用于按数字或字符索引。像大型字典的“书边标目”。
优点:
1.元素(字符串)存储在叶结点中。
2.非叶结点只存储一个字符作为索引。
3.从根到某个叶的路径上字符组合成的字符串,恰是存储于该叶中的元素值(关键字)。
示例:
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