uva-11426-数论

https://vjudge.net/problem/UVA-11426#author=0

求 SUM{ gcd(i,j) | 1<=i<j<=n}, n<4000001。

令f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n),

则 S(n)=f(2)+f(3)+...+f(n) 即为我们所求答案，问题转化为求解f(n)。

　　可以看出对于f(n)的所有项的答案一定是n的因子，我们不妨令g(x,i)表示因子i对应的f(n)里的项x的个数，

那么f(n)=SUM{ i*g(x,i) | i为n的因子且0<x<n}  有gcd(x,n)==i  -->  gcd(x/i,n/i)==1 ,所以因子i对应的x的个数就

等价于与n/i互质且小于n/i的数的个数，这个就可以用phi来求解了。

　　在求f的时，一开始是用的O(N*sqrt(N))来一个一个找会T，太蠢了。只要和打表phi一样利用类似于埃筛

的方法就可以降到O(N*log(N))了。

　　

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define LL long long
 const int maxn=;
 LL f[maxn];
 int phi[maxn];
 void init(){
     phi[]=;
     int m=sqrt(maxn+0.5);
     for(int i=;i<maxn;++i){
         if(!phi[i]){
             for(int j=i;j<maxn;j+=i){
                 if(!phi[j]) phi[j]=j;
                 phi[j]=phi[j]/i*(i-);
             }
         }
     }
     for(int i=;i<maxn;++i){
         for(int j=i*;j<maxn;j+=i){
             f[j]+=i*phi[j/i];
         }
     }
     for(int i=;i<maxn;++i) f[i]+=f[i-];
 }
 int main(){
     init();
     int n;
     while(scanf("%d",&n)&&n){
         printf("%lld\n",f[n]);
     }
     return ;
 }