题面

A

N

T

O

N

\rm ANTON

ANTON 的基因由

A

,

N

,

T

,

O

\rm A,N,T,O

A,N,T,O 四种碱基排列组成。

A

N

T

O

N

\rm ANTON

ANTON 的身体很智能,一旦发现基因序列被改变了,就会通过尽量少的次数交换相邻两个碱基,来还原回开始的基因序列。

现在给出

A

N

T

O

N

\rm ANTON

ANTON 的基因序列,长为

N

N

N ,求一个打乱后的该序列,满足还原时需要交换操作最少次数最多,输出任意一个符合条件的序列。

1

N

1

0

5

1\leq N \leq10^5

1≤N≤105.

题解

我们先考虑最少操作次数怎么求。根据做题经验,有一个贪心思路:把相同类型的碱基不交叉地一一配对,然后把每个初始位置的目标位置拿出来组成一个序列(因此这应该是个1~N的排列),最小操作次数即该排列的逆序对数。

那么,我们不妨把打乱后的序列也这样一一对应回去,每个位置上记录初始位置的编号。容易发现,对于同一种碱基的所有位置,初始位置的编号一定是单增的。在满足这个条件的情况下,我们可以想想怎么最大化逆序对数。

这里有一个结论:一定存在一种逆序对最多的方案,满足同种碱基都相邻。

  • 证明:我们用调整法,假设序列中有这么一段两边都有个 A(省略号中间没有 A):A......A,前面一个的初始位置为

    i

    i

    i ,后面一个的初始位置为

    j

    j

    j,此时

    i

    <

    j

    i<j

    i<j。令省略号中间比

    i

    i

    i 小的数量为

    a

    a

    a ,比

    j

    j

    j 大的数量为

    b

    b

    b 。如果

    a

    b

    a\geq b

    a≥b,把右边的 A 移到省略号左边,逆序对的变化量为

    a

    b

    0

    a-b\geq0

    a−b≥0 。如果

    a

    <

    b

    a<b

    a<b ,把左边的 A 移到省略号右边,逆序对的变化量为

    b

    a

    >

    0

    b-a>0

    b−a>0。两种使 A 相邻的方法总有一个不会让逆序对数减小,得证。

那么,由于只有四种碱基,全排列有

M

!

=

4

!

=

24

M!=4!=24

M!=4!=24 种,最终的序列也只有这么多种,其中一定存在一个答案序列,我们暴力枚举找它。复杂度

O

(

M

!

n

log

n

)

O(M!n\log n)

O(M!nlogn)。

还有一种

O

(

n

)

O(n)

O(n) 的做法。交换次数不一定要求逆序对,还可以求初始与目标的距离。由于我们知道同种碱基要相邻,可以通过预处理前缀和等方式,快速判断每种碱基段在某个位置对答案贡献为多少,这样一来,枚举全排列时就不用每次

O

(

n

)

O(n)

O(n) 求答案,而是常数时间。总时间复杂度就主要只有输入和预处理了。

CODE

O

(

24

n

log

n

)

O(24n\log n)

O(24nlogn)

#include<set>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 400005
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
#define INF 0x3f3f3f3f
LL read() {
LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
char s0[10] = "ANTO";
char ss[MAXN];
int c[MAXN];
void addc(int x,int y){while(x<=n)c[x]+=y,x+=lowbit(x);}
int sum(int x){int s=0;while(x>0)s+=c[x],x-=lowbit(x);return s;}
void INIT() {for(int i = 1;i <= n;i ++) c[i] = 0;}
LL as = 0,CN;
char D[MAXN],e[MAXN];
void ADD(int x) {
D[CN --] = ss[x];
as += sum(x-1); addc(x,1);
return ;
}
int main() {
int T = read();
while(T --) {
scanf("%s",ss + 1);
n = strlen(ss + 1);
for(int i = 1;i <= n;i ++) e[i] = ss[i];
LL ans = -1;
for(int a=0;a<4;a++) {
for(int b=0;b<4;b++) if(b!=a) {
for(int c=0;c<4;c++) if(c!=a&&c!=b) {
for(int d=0;d<4;d++) if(d!=a&&d!=b&&d!=c) {
INIT();
CN = n;as = 0;
for(int i = n;i > 0;i --) if(ss[i] == s0[d]) ADD(i);
for(int i = n;i > 0;i --) if(ss[i] == s0[c]) ADD(i);
for(int i = n;i > 0;i --) if(ss[i] == s0[b]) ADD(i);
for(int i = n;i > 0;i --) if(ss[i] == s0[a]) ADD(i);
if(as > ans) {
for(int i = 1;i <= n;i ++) e[i] = D[i];
ans = as;
}
}
}
}
}
for(int i = 1;i <= n;i ++) putchar(e[i]);ENDL;
}
return 0;
}

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