动态树 — Euler_Tour_Tree

一般提到动态树，我们会不约而同的想到 LCT，这算是比较通用，实用，能力较为广泛的一种写法了。当然，掌握 LCT 就需要熟悉掌握 Splay 和各种操作和知识。ETT（中文常用称呼：欧拉游览树）是一种及其睿智且暴力，可以用暴力数据结构维护的一种除了能胜任普通动态树的 Link & Cut 操作还可以支持换子树操作（此操作 LCT 无法完成）的动态树。

大家对这括号序很熟悉吧，如：

其括号序为：1 2 5 5 6 6 2 3 3 4 7 8 8 7 4 1。

括号序其实是一个父亲包含儿子的一种树的顺序。

然后我们看一下，如果把 4 的子树移给 3 会怎样？如图：

原图括号序：1 2 5 5 6 6 2 3 3 4 7 8 8 7 4 1

后者括号序：1 2 5 5 6 6 2 3 7 8 8 7 3 4 4 1

可以发现，7 8 8 7 平移到了 3 的后面，而 4 合拢。这就是所谓换子树操作（同样可以用于 Link & Cut 操作）。现在只需要一个数据结构可以做到区间平移且维护一些值，众大佬肯定会说用 Splay，其确实效率很高，不过这里用块状链表维护会简单很多，对于一些数据低于 的题目都可以码得很快。

那怎么维护点到根的信息呢？

其实仔细想想，DFS 序也可以达到平移的效果，那么为什么需要括号序？其实，假如你要查询图中 1 到 8 的和，那么你从括号序中 1 到 8（第一个出现的）中出现两次的数的贡献抹去。如果维护的是 xor，那么直接 xor 两次即可。如果维护的是 sum，那么第一个出现的数字的贡献为正，第二个为负，然后用块状链表维护区间和即可。

用块状链表后除了单点修改是 \(O(1)\) 外其他都是 \(O(\sqrt n)\) 的。

ETT 不支持换根操作。对于链（区间）修改，分为两种情况，一是贡献相同（如 xor）是可以的，二是贡献不同（如 sum）是不行的。现在的主流做法毕竟是 LCT，所以这些操作比较多，在避开这种操作的情况下运用这种做法还是不错的。

注：标准的 ETT（用欧拉回路而不是 DFS 括号序实现）是支持换根操作的，但是实现较为复杂。

#3786. 星系探索

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int ver[200005],ne[200005],head[100005],cnt;
inline void link(int x,int y){
	ver[++cnt]=y;
	ne[cnt]=head[x];
	head[x]=cnt;
}
int w[100005];
vector<int> vec;
int son[2][200005],val[200005],fa[200005],rt,siz[200005],tot[200005];
long long sum[200005],tag[200005];
inline void pushup(int x){
	sum[x]=sum[son[0][x]]+val[x]+sum[son[1][x]];
	tot[x]=tot[son[0][x]]+siz[x]+tot[son[1][x]];
}
inline void push(int x){
	if(!tag[x])return ;
	if(son[0][x]){
		sum[son[0][x]]+=tag[x]*tot[son[0][x]];
		val[son[0][x]]+=siz[son[0][x]]*tag[x];tag[son[0][x]]+=tag[x];
	}
	if(son[1][x]){
		sum[son[1][x]]+=tag[x]*tot[son[1][x]];
		val[son[1][x]]+=siz[son[1][x]]*tag[x];tag[son[1][x]]+=tag[x];
	}tag[x]=0;
}
inline void rotate(int x,int &k){
	int y=fa[x],z=fa[y];
	if(y==k)k=x;else son[son[1][z]==y][z]=x;
	bool is=(son[1][y]==x);
	son[is][y]=son[!is][x];fa[son[!is][x]]=y;
	son[!is][x]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;pushup(x);pushup(y);
}
int stk[200005],top;
inline void splay(int x,int &k){
	stk[++top]=x;
	for(int i=x;i!=k;i=fa[i])stk[++top]=fa[i];
	while(top)push(stk[top--]);
	while(x!=k){
		int y=fa[x],z=fa[y];
		if(y!=k){
			if((son[1][y]==x)^(son[1][y]==z))rotate(x,k);
			else rotate(y,k);
		}rotate(x,k);
	}
}
int build(int l=0,int r=vec.size()-1){
	if(l>r)return 0;
	int mid=(l+r)>>1,i=vec[mid];
	son[0][i]=build(l,mid-1);fa[son[0][i]]=i;
	son[1][i]=build(mid+1,r);fa[son[1][i]]=i;pushup(i);
	return i;
}
void dfs(int x,int fi){
	tot[x]=siz[x]=1;
	sum[x]=val[x]=w[x];vec.push_back(x);
	for(int i=head[x];i;i=ne[i]){
		int u=ver[i];
		if(u==fi)continue;
		dfs(u,x);
	}
	tot[x+n]=siz[x+n]=-1;
	sum[x+n]=val[x+n]=-w[x];vec.push_back(x+n);
}
inline int pre(int x){
	splay(x,rt);x=son[0][x];
	while(son[1][x])x=son[1][x];
	return x;
}
inline int nxt(int x){
	splay(x,rt);x=son[1][x];
	while(son[0][x])x=son[0][x];
	return x;
}
void put(int x){
	if(son[0][x])put(son[0][x]);
	if(x<=2*n)printf("%d ",x<=n?x:-x+n);
	if(son[1][x])put(son[1][x]);
}
inline int& split(int l,int r){
	int x=pre(l),y=nxt(r);
	splay(x,rt);splay(y,son[1][x]);
	return son[0][y];
}
inline void update(int x,int v){
	int y=split(x,x+n);
	val[y]+=siz[y]*v;sum[y]+=tot[y]*v;
	tag[y]+=v;pushup(fa[y]);push(fa[fa[y]]);
}
inline void move(int x,int y){
	int &z=split(x,x+n),k=z;
	z=0;pushup(fa[k]);pushup(fa[fa[k]]);
	int t=split(y,y);son[1][t]=k;fa[k]=t;
	pushup(t);pushup(fa[t]);pushup(fa[fa[t]]);
}
inline long long query(int x){
	int y=nxt(x);
	splay(y,rt);return sum[son[0][y]];
}
char op[15];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int x;scanf("%d",&x);
		link(x,i);link(i,x);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
	vec.push_back(2*n+1);dfs(1,1);
	vec.push_back(2*n+2);rt=build();
	scanf("%d",&m);
	while(m--){
		scanf("%s",op);
		if(op[0]=='Q'){
			int x;scanf("%d",&x);
			printf("%lld\n",query(x));
		}
		else if(op[0]=='C'){
			int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
			move(x,y);
		}
		else if(op[0]=='F'){
			int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
			update(x,y);
		}
	}

	return 0;
}

[BJOI2014]大融合

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