NC16649 [NOIP2005]校门外的树

题目

题目描述

某校大门外长度为 $L$ 的马路上有一排树，每两棵相邻的树之间的间隔都是 $1$ 米。我们可以把马路看成一个数轴，马路的一端在数轴 $0$ 的位置，另一端在 $L$ 的位置；数轴上的每个整数点，即 $0,1,2,\cdots,L$都种有一棵树。

由于马路上有一些区域要用来建地铁。这些区域用它们在数轴上的起始点和终止点表示。已知任一区域的起始点和终止点的坐标都是整数，区域之间可能有重合的部分。现在要把这些区域中的树（包括区域端点处的两棵树）移走。你的任务是计算将这些树都移走后，马路上还有多少棵树。

输入描述

第一行有两个整数：$L$（$1 \leq L \leq 10000$）和 $M$（$1 \leq M \leq 100$），$L$ 代表马路的长度，$M$ 代表区域的数目，$L$ 和 $M$ 之间用一个空格隔开。接下来的 $M$ 行每行包含两个不同的整数，用一个空格隔开，表示一个区域的起始点和终止点的坐标。

输出描述

包括一行，这一行只包含一个整数，表示马路上剩余的树的数目。

示例1

输入

输出

题解

数据范围一（原题范围）：$L \leq 10^4 $ ，$ M \leq 10^2$

思路

知识点：差分。

数组直接模拟整个区间，进行差分。

时间复杂度 $O(L+M)$

空间复杂度 $O(L)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int vis[10007];///模拟整个区间
int main(){
    int L,M;
    cin>>L>>M;
    for(int i = 0;i<M;i++){
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        vis[l]++;
        vis[r+1]--;///差分
    }
    int a = 0,ans = 0;
    for(int i = 0;i<=L;i++){
        a += vis[i];///前缀和
        if(!a) ans++;///加完之后是0，那说明此处无遮盖
    }
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}

数据范围二（加强）： $L \leq 10^5$ ， $M \leq 10^5$

思路

知识点：离散化。

端点代替区间，合并区间后求长与总长相减。

时间复杂度 $O(MlogM)$

空间复杂度 $O(M)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct qj{
    int l,r;
}a[100007];
bool cmp(qj a,qj b){
    return a.l == b.l?a.r<b.r:a.l<b.l;
}
int main(){
    int L,M;
    cin>>L>>M;
    for(int i = 0;i<M;i++){
        cin>>a[i].l>>a[i].r;
    }
    sort(a,a+M,cmp);///按左端点从小到大，再按右端点从小到大
    int cnt = 0;///记录合并区间长度
    int l = a[0].l,r = a[0].r;///记录初始合并区间
    for(int i = 1;i<M;i++){
        if(a[i].l<=r) r = max(r,a[i].r);
        ///当前区间左端点小于等于此合并区间的右端点(不是上个区间的右端点,这里错了tmd)（因为排序，当前区间左端点不可能小于上一个区间左端点）
        ///那么合并区间的右端点为自己和当前区间右端点的最大值
        else{
            cnt+=r-l+1;
            l = a[i].l;
            r = a[i].r;
        }///合并结束更新
    }
    cnt+=r-l+1;
    cout<<L-cnt+1<<'\n';///L+1是总端点数
}

数据范围三（再加强）： $L \leq 10^9$ ， $M \leq 10^5$

思路

知识点：离散化+差分。

已经无法用数组模拟区间，考虑模拟端点的差分值，累加目标区间长度。

时间复杂度 $O(MlogM)$

空间复杂度 $O(M)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct diff{
    int pos;
    int num;
}delta[100007];///记录特定端点代替整个区间，达到满足空间要求
bool cmp(diff a,diff b){
    return a.pos==b.pos?a.num<b.num:a.pos<b.pos;
}
int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int L,M;
    cin>>L>>M;
    for(int i = 0;i<M;i++){
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        delta[i].pos = x;///记录左端点
        delta[i].num = 1;
        delta[i+M].pos = y+1;///记录右端点，因为差分所以y+1
        delta[i+M].num = -1;
    }
    sort(delta,delta+2*M,cmp);///根据左端点从小到大排序，先负再正
    int a = 0,cnt = 0;
    for(int i = 0;i<2*M;i++){
        a += delta[i].num;
        if(a == 1 && delta[i].num == 1){///此时pos是0区域的右端点+1位置,上一个pos即左端点位置
            cnt+=delta[i].pos - delta[i-1].pos;///相减即为区间长度
        }
    }
    if(!a) cnt+=L-delta[2*M-1].pos+1;
    cout<<cnt<<'\n';
    return 0;
}