自己在物理课上编了一道题,大概就是这题把删除区间的边改为保留区间的边。。。都不觉得判断短路和判断二分图有点儿像吗

题意:给定一张无向图,每次暂时删除一个区间内的边,问删除后这个区间是否为二分图。

首先倍长区间,删除区间变为保留区间。

考虑对每条边 \(i\) 处理一个序列上的一个位置 \(e_i\),表示对原图加入 \([e_i,i]\) 的边后整张图不是二分图,取最大的 \(e_i\)。

很容易能够发现有 \(e_i \leq e_{i+1}\),也就是 \(e_i\) 存在单调性。

左端点单调不递减,考虑使用双指针。

由于判断二分图相当于判断是否存在奇环,而偶环具有传递性(如果有两个偶环,那么套在一起后一定没有奇环),所以考虑使用 LCT 动态维护区间图的一颗生成树。

加入一条边后考虑两件事:

  1. 如果加入后产生了奇环,应该删除哪条边?

很明显是令左端点右移,直到没有奇环位置。

  1. 如果加入后产生了偶环,应该删掉哪条边?

很明显是偶环上第一个被加入的边。

预处理出 \(e_i\) 之后,就可以通过判断 \(\max_{i=l}^r e_i < l\) 来判断一个区间是否为二分图了。通过 P3901 的 trick,维护前缀 \(\max\) 即可做到 \(O(n\log n+q)\)。

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