[线段树系列] LCT打延迟标记的正确姿势
这一篇博客将教你什么?
如何用LCT打延迟标记,LCT和线段树延迟标记间的关系,为什么延迟标记要这样打。
——正片开始——
学习这一篇博客前,确保你会以下知识:
Link-Cut-Tree,普通线段树
当然,不会也没有关系,你可以先收藏这篇博客,等你学了以后再来看。
最好通过了这一道题:【模板】线段树Ⅱ
没有通过也没关系,对于本篇的知识只是一个启发作用。
我们平时使用的Link-Cut-Tree一般只需要打一个翻转标记rev[x]。
然后我们用pushR(x)函数来下发翻转标记。
那么我们现在来看这样一道题:TreeⅡ
练习LCT打标记的绝世好题,可以说就是一道模板题了。
我们来看它需要维护什么:树的权值。
如果能把这个操作2去掉,树剖将绝杀,可惜换不得。
单走一个“树”,nice,直接LCT。
询问权值和,可以,给LCT来一个下传标记,开始你的操作秀。
我们直接来看pushdown部分:
操作有乘和加两种,根据运算法则,乘法优先,所以首先判断
if(lazM[x]!=){...}
然后是加法
if(lazA[x]){...}
最后回到我们的翻转标记。
然后我们来看pushM和pushA部分
#define mul(x,y) x*=y;x%=MOD;
inline void pushM(unsigned int x,unsigned int d){
mul(sum[x],d);mul(val[x],d);//节点信息直接更新
mul(lazM[x],d);mul(lazA[x],d);//按照运算法则先把乘标记乘了,再把加标记乘了
}
有没有回想起什么?没错,就是线段树的懒标记。
我们看看线段树2的懒标记下传部分
void pushdown(int p){
mul(p<<)=(mul(p<<)*mul(p))%P;
mul(p<<|)=(mul(p<<|)*mul(p))%P;
add(p<<)=(add(p<<)*mul(p))%P;
add(p<<|)=(add(p<<|)*mul(p))%P;
sum(p<<)=(sum(p<<)*mul(p))%P;
sum(p<<|)=(sum(p<<|)*mul(p))%P;//按照运算法则更新标记和节点信息
mul(p)=;
add(p<<)=(add(p<<)+add(p))%P;
add(p<<|)=(add(p<<|)+add(p))%P;
sum(p<<)=(sum(p<<)+add(p)*(r(p<<)-l(p<<)+))%P;
sum(p<<|)=(sum(p<<|)+add(p)*(r(p<<|)-l(p<<|)+))%P;//按照运算法则更新标记和节点信息
add(p)=;
}
惊人的一致。
猜到pushA的写法了吧?那我不讲了,后面有代码。
透过现象看本质。
两种数据结构都是在维护一个区间,只不过LCT维护的树上一段路径的区间。
如果这道题把操作2去掉,我们用树链剖分写,线段树维护,一样是这样打标记。
为什么?
如果你当初学线段树的时候理解了线段树2打标记里面先成后加的原理,你可能思考一下就明白了。
这里的原因和线段树非常相似:精度。
我们的标记是打在父节点上的,告诉它它的孩子加了多少,乘了多少。
如果我们先加了那么多,再乘那么多,结果是不一样的,如果非要等价,需要对式子变形。
我们看这样一个式子:(a+b)*c,它并不等价于a*c+b,运算的顺序是会影响结果的。
然而我们打标记的时候并不能确定顺序。这时我们为何不用上很早就明白的运算法则呢?
看下面两种顺序:
先+后*:(a+b)*c = a*c+b*c,先*后+:(a+b)*c = a*c+b
我们发现,先+后*的式子并不等于先*后+的式子,要让它相等必须在加的那一项也*上c。
但是要让先*后+的式子转化成先+后*的式子,我们就必须用到除法,就会变成实数运算,还有可能得到无限小数影响精度。所以我们只需要使用先*后+的优先顺序,并且在打乘法标记时把加法标记也乘上这个值就可以了。
分析完后,相信各位应该能理解数据结构“懒标记”的概念以及为何选择这种优先顺序了。
那么剩下的就是很正常的LCT操作了,给出此题的代码。
注意这道题有一个坑点:模数是51061,看上去很小,然而暗藏出题人的心机。
我们来看51061的平方 ——> 2516125921,再看int的数据范围 —— > 2147483647
于是我们需要开long long,但是我写的时候为了卡常用了unsigned int。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,q;
const int N=;
#define MOD 51061
unsigned int fa[N],val[N],ch[N][],rev[N],lazM[N],lazA[N],siz[N],sum[N],stk[N];
#define add(x,y) x+=y;x%=MOD;
#define mul(x,y) x*=y;x%=MOD;
inline unsigned int read(){
unsigned int data=,w=;char ch=;
while(ch!='-' && (ch<''||ch>''))ch=getchar();
if(ch=='-')w=-,ch=getchar();
while(ch>='' && ch<='')data=data*+ch-'',ch=getchar();
return data*w;
}
inline bool chk(unsigned int x){
return ch[fa[x]][]==x;
}
inline bool nroot(unsigned int x){
return ch[fa[x]][]==x||ch[fa[x]][]==x;
}
inline void pushup(unsigned int x){
sum[x]=(sum[ch[x][]]+sum[ch[x][]]+val[x])%MOD;
siz[x]=siz[ch[x][]]+siz[ch[x][]]+;
}
template<class T>inline void fswap(T&x,T&y){
T t=x;x=y;y=t;
}
inline void pushR(unsigned int x){
fswap(ch[x][],ch[x][]);
rev[x]^=;
}
inline void pushM(unsigned int x,unsigned int d){
mul(sum[x],d);mul(val[x],d);
mul(lazM[x],d);mul(lazA[x],d);
}
inline void pushA(unsigned int x,unsigned int d){
add(sum[x],d*siz[x]);add(val[x],d);
add(lazA[x],d);
}
inline void pushdown(unsigned int x){
if(lazM[x]!=){
pushM(ch[x][],lazM[x]);
pushM(ch[x][],lazM[x]);
lazM[x]=;
}
if(lazA[x]){
pushA(ch[x][],lazA[x]);
pushA(ch[x][],lazA[x]);
lazA[x]=;
}
if(rev[x]){
if(ch[x][])pushR(ch[x][]);
if(ch[x][])pushR(ch[x][]);
rev[x]=;
}
}
inline void rotate(unsigned int x){
int y=fa[x],z=fa[y],k=chk(x),w=ch[x][k^];
ch[y][k]=w;if(w)fa[w]=y;
if(nroot(y))ch[z][chk(y)]=x;fa[x]=z;
ch[x][k^]=y;fa[y]=x;
pushup(y);pushup(x);
}
inline void splay(unsigned int x){
int y=x,z=;
stk[++z]=y;
while(nroot(y))stk[++z]=y=fa[y];
while(z)pushdown(stk[z--]);
while(nroot(x)){
y=fa[x];z=fa[y];
if(nroot(y)){
if(chk(x)==chk(y))rotate(y);
else rotate(x);
}rotate(x);
}
pushup(x);
}
inline void access(unsigned int x){
for(int y=;x;x=fa[y=x])
splay(x),ch[x][]=y,pushup(x);
}
inline void makeroot(unsigned int x){
access(x);splay(x);
pushR(x);
}
inline int findroot(unsigned int x){
access(x);splay(x);
while(ch[x][])pushdown(x),x=ch[x][];
splay(x);
return x;
}
inline void split(unsigned int x,unsigned int y){
makeroot(x);
access(y);splay(y);
}
inline void link(unsigned int x,unsigned int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)!=x)fa[x]=y;
}
inline void cut(unsigned int x,unsigned int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)==x && fa[y]==x && !ch[y][]){
fa[y]=ch[x][]=;
pushup(x);
}
}
int main(){
n=read();q=read();
for(int i=;i<=n;i++)val[i]=siz[i]=lazM[i]=;
for(int i=;i<n;i++){
int a=read();int b=read();
link(a,b);
}
char opt[];
int u,v,d;
while(q--){
scanf("%s",opt);
if(opt[]=='+'){
u=read();v=read();d=read();
split(u,v);pushA(v,d);
}else if(opt[]=='-'){
u=read();v=read();
cut(u,v);
u=read();v=read();
link(u,v);
}else if(opt[]=='*'){
u=read();v=read();d=read();
split(u,v);pushM(v,d);
}else{
u=read();v=read();
split(u,v);
printf("%d\n",sum[v]);
}
}
return ;
}
其实这也揭示了数据结构间的联系:形式不同,作用相似。
透过现象看本质,通过结果推原因,都是学习数据结构的重要方式。
数据结构不只是背背代码,用来加速这么简单的,如果明白了数据结构的运行方式和原理,
你也一定会感慨里面蕴含着的发明者的智慧和它给你带来的知识上的进步。
我是灯塔...一个喜欢数据结构的OIer博主,关注我,我将给你带来更多精彩的文章。
[线段树系列] LCT打延迟标记的正确姿势的更多相关文章
- 【POJ】3468 A Simple Problem with Integers ——线段树 成段更新 懒惰标记
A Simple Problem with Integers Time Limit:5000MS Memory Limit:131072K Case Time Limit:2000MS Descr ...
- POJ 3468 线段树 成段更新 懒惰标记
A Simple Problem with Integers Time Limit:5000MS Memory Limit:131072K Case Time Limit:2000MS Descr ...
- 题解报告:poj 3468 A Simple Problem with Integers(线段树区间修改+lazy懒标记or树状数组)
Description You have N integers, A1, A2, ... , AN. You need to deal with two kinds of operations. On ...
- 题解报告:hdu 1698 Just a Hook(线段树区间修改+lazy懒标记的运用)
Problem Description In the game of DotA, Pudge’s meat hook is actually the most horrible thing for m ...
- BZOJ2001 HNOI2010城市建设(线段树分治+LCT)
一个很显然的思路是把边按时间段拆开线段树分治一下,用lct维护MST.理论上复杂度是O((M+Q)logNlogQ),实际常数爆炸T成狗.正解写不动了. #include<iostream> ...
- bzoj 4025 二分图——线段树分治+LCT
题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4025 线段树分治,用 LCT 维护链的长度即可.不过很慢. 正常(更快)的方法应该是线段树分 ...
- SPOJ GSS3 线段树系列1
SPOJ GSS系列真是有毒啊! 立志刷完,把线段树搞完! 来自lydrainbowcat线段树上的一道例题.(所以解法参考了lyd老师) 题意翻译 n 个数, q 次操作 操作0 x y把 Ax 修 ...
- 【洛谷P4319】 变化的道路 线段树分治+LCT
最近学了一下线段树分治,感觉还蛮好用... 如果正常动态维护最大生成树的话用 LCT 就行,但是这里还有时间这一维的限制. 所以,我们就把每条边放到以时间为轴的线段树的节点上,然后写一个可撤销 LCT ...
- P3206 [HNOI2010]城市建设 [线段树分治+LCT维护动态MST]
Problem 这题呢 就边权会在某一时刻变掉-众所周知LCT不支持删边的qwq- 所以考虑线段树分治- 直接码一发 如果 R+1 这个时间修改 那就当做 [L,R] 插入了一条边- 然后删的边和加的 ...
随机推荐
- C# https证书通信Post/Get(解决做ssl通道时遇到“请求被中止: 未能创建 SSL/TLS 安全通道”问题)
public static string HttpPost(string url, string param = null) { HttpWebRequest request; //如果是发送HTTP ...
- spring5 源码深度解析----- AOP的使用及AOP自定义标签
我们知道在面向对象OOP编程存在一些弊端,当需要为多个不具有继承关系的对象引入同一个公共行为时,例如日志,安全检测等,我们只有在每个对象里引入公共行为,这样程序中就产生了大量的重复代码,所以有了面向对 ...
- 隐藏select下拉框的三角按钮
修改select标签的appearance属性,改成inherit,而不是none. -moz-appearance:inherit;/*?Firefox?*/ -webkit-appearance: ...
- SD-WAN 配置及应用模板**(二)
目录 0. 前言 1. 配置模板 1.1 创建各类 'Feature' 模板: 1.1.1 添加波特率模板 1.1.2 添加 'VPN0' 模板 1.1.3 添加 'VPN10' 模板 1.1.4 添 ...
- springboot 获取Resource目录下的文件
如图,获取user.png: 代码实现: //文件路径,此处static前不能加/,否则解析不到try { //此处的static前不能加/!!! file = ResourceUtils.getFi ...
- [Week 2][Guarantee of PLA] the Correctness Verification of PLA
Conditions: For the data set D, there exists a $\displaystyle W_{f}$ which satisfies that for every ...
- KD-tree学习笔记(超全!)
目录 K-D树 更新信息 建树 插入 查询 k远/近询问 重构 K-D 树优化建边 后记 因为之前找不到全的博客,唯一的一篇码风比较毒瘤... 所以我就来写了 K-D树 大概是高维二叉树吧 每次按一个 ...
- Linux上编译安装PHP
这篇文章主要介绍了关于Linux上编译安装PHP,有着一定的参考价值,现在分享给大家,有需要的朋友可以参考一下 之前在服务器上编译安装了PHP运行环境,但是安装完过了一段时间就差不多忘记了,只是零零星 ...
- 地图的标注Marker
(1)在point处添加标注:var marker = new BMap.Marker(point); (2)添加覆盖物:map.addOverlay(marker); (3)激活标注的拖拽功能:ma ...
- 经典面试题golang实现方式(一)
以下所有题目的关键信息都会用[]括起来,我们不对题目进行分析,只给出题目的解决方案:如有疑问请不吝赐教. 题目: 请实现一个算法,确定一个字符串的所有字符[是否全都不同].这里我们要求[不允许使用额外 ...