3、基于Python建立任意层数的深度神经网络

一、神经网络介绍:

　　神经网络算法参考人的神经元原理(轴突、树突、神经核)，在很多神经元基础上构建神经网络模型，每个神经元可看作一个个学习单元。这些神经元采纳一定的特征作为输入，根据自身的模型得到输出。

图1 神经网络构造的例子（符号说明：上标[l]表示与第l层；上标（i）表示第i个例子；下标i表示矢量第i项)

图2 单层神经网络示例

 神经元模型是先计算一个线性函数（z=Wx+b），接着再计算一个激活函数。一般来说，神经元模型的输出值是a=g(Wx+b)，其中g是激活函数（sigmoid,tanh, ReLU, …）。

二、数据集

假设有一个很大的数据库，里面记录了很多天气数据，例如，气温、湿度、气压和降雨率。

问题陈述：

一组训练数据m_train，下雨标记为（1），不下雨标记为（0）。

一个测试数据组m_test，标记是否下雨。

每一个天气数据包含x1=气温，x2=湿度，x3=气压。

机器学习中一个常见的预处理步骤是将数据集居中并标准化，这意味着从每个示例中减去整个numpy数组的平均值，然后将每个示例除以整个numpy数组的标准偏差。

　　通用方法（建立部分算法）

　　使用深度学习来建造模型

　　1. 定义模型构造（例如，数据的输入特征）

　　2. 初始化参数并定义超参数(迭代次数、在神经网络中的L层的层数、隐藏层大小、学习率α）

　　3. 迭代循环（正向传播（计算电流损耗）、计算成本函数、反向传播（计算电流损耗）、升级参数（使用背景参数和梯度））

　　4. 使用训练参数来预测标签（初始化）

更深层次的L-层神经网络的初始化更为复杂，因为有更多的权重矩阵和偏置向量。下表展示了不同结构的各种层级。

表1 L层的权重矩阵w、偏置向量b和激活函数z

表2 示例架构中的神经网络权重矩阵w、偏置向量b和激活函数z

表2帮助我们为图1中的示例神经网络架构的矩阵准备了正确的维度。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
nn_architecture = [
{"layer_size": 4,"activation": "none"}, # input layer
{"layer_size": 5,"activation": "relu"},
{"layer_size": 4,"activation": "relu"},
{"layer_size": 3,"activation": "relu"},
{"layer_size": 1,"activation": "sigmoid"}
]
def initialize_parameters(nn_architecture, seed = 3):
np.random.seed(seed)
# python dictionary containingour parameters "W1", "b1", ..., "WL","bL"
parameters = {}
number_of_layers = len(nn_architecture)
for l in range(1,number_of_layers):
parameters['W' + str(l)] =np.random.randn(
nn_architecture[l]["layer_size"],
nn_architecture[l-1]["layer_size"]
) * 0.01
parameters['b' + str(l)] =np.zeros((nn_architecture[l]["layer_size"], 1))
return parameters

代码段1 参数初始化

　　使用小随机数初始化参数是一种简单的方法，但同时也保证算法的起始值足够好。

记住：

• 不同的初始化工具，例如Zero,Random, He or Xavier，都会导致不同的结果。
• 随机初始化能够确保不同的隐藏单元可以学习不同的东西（初始化所有权重为零会导致，所有层次的所有感知机都将学习相同的东西）。
• 不要初始化为太大的值

三、激活函数

　　激活函数的作用是为了增加神经网络的非线性。下例将使用sigmoid and ReLU。

　　Sigmoid输出一个介于0和1之间的值，这使得它成为二进制分类的一个很好的选择。如果输出小于0.5，可以将其分类为0；如果输出大于0.5，可以将其分类为1。

def sigmoid(Z):
    S = 1 / (1 + np.exp(-Z))
    return S

def relu(Z):
    R = np.maximum(0, Z)
    return R

def sigmoid_backward(dA, Z):
    S = sigmoid(Z)
    dS = S * (1 - S)
    return dA * dS

def relu_backward(dA, Z):
    dZ = np.array(dA, copy=True)
    dZ[Z <= 0] = 0
    return dZ

　　代码段2 Sigmoid和ReLU激活函数，及其衍生物

　　在代码段2中，可以看到激活函数及其派生的矢量化编程实现。该代码将用于进一步的计算。

四、正向传播

　　在正向传播中，在层l的正向函数中，需要知道该层中的激活函数是哪一种（sigmoid、tanh、ReLU等）。前一层的输出值为这一层的输入值，先计算z，再用选定的激活函数计算。

图3 神经网络的正向传播

线性正向模块（对所有示例进行矢量化）计算以下方程式：

方程式1 线性正向函数

def L_model_forward(X, parameters, nn_architecture):
    forward_cache = {}
    A = X
    number_of_layers = len(nn_architecture)

for l in range(1, number_of_layers):
    A_prev = A
    W = parameters['W' + str(l)]
    b = parameters['b' + str(l)]
    activation = nn_architecture[l]["activation"]
    Z, A = linear_activation_forward(A_prev, W, b, activation)
    forward_cache['Z' + str(l)] = Z
    forward_cache['A' + str(l)] = A
    AL = A
return AL, forward_cache

def linear_activation_forward(A_prev, W, b, activation):
    if activation == "sigmoid":
        Z = linear_forward(A_prev, W, b)
        A = sigmoid(Z)
    elif activation == "relu":
        Z = linear_forward(A_prev, W, b)
        A = relu(Z)
    return Z, A

def linear_forward(A, W, b):
    Z = np.dot(W, A) + b
    return Z

代码段3 正向传播模型

使用“cache”（python字典包含为特定层所计算的a和z值）以在正向传播至相应的反向传播期间传递变量。它包含用于反向传播计算导数的有用值。

五、损失函数

　　为了管程学习过程，需要计算代价函数的值。下面的公式用于计算成本。

　　方程式2 交叉熵成本

def compute_cost(AL, Y):
    m = Y.shape[1]
    # Compute loss from AL and y
    logprobs = np.multiply(np.log(AL), Y) + np.multiply(1 - Y, np.log(1 - AL))
    # cross-entropy cost
    cost = - np.sum(logprobs) / m
    cost = np.squeeze(cost)
    return cost

代码段4 代价函数的计算

六、反向传播

　　反向传播用于计算参数的损失函数梯度。该算法是由微分学中已知的“链规则”递归使用的。

　　反向传播计算中使用的公式：

方程式3 反向传播计算公式

　　链式法则是计算复合函数导数的公式。复合函数就是函数套函数。

方程式4 链规则示例

　　“链规则”在计算损失时十分重要（以方程式5为例）。

方程式5 损失函数（含替换数据）及其相对于第一权重的导数

　　神经网络模型反向传播的第一步是计算最后一层损失函数相对于z的导数。方程式6由两部分组成：方程式2损失函数的导数（关于激活函数）和激活函数“sigmoid”关于最后一层Z的导数。

方程式6 从4层对z的损失函数导数

　　方程式6的结果可用于计算方程式3的导数。

方程式7 损失函数相对于3层的导数

　　在进一步计算中，使用了与第三层激活函数有关的损失函数的导数（方程式7）。

方程式8 第三层的导数

方程式7的结果和第三层活化函数“relu”的导数用于计算方程式8的导数（损失函数相对于z的导数）。然后，我们对方程式3进行了计算。

我们对方程9和10做了类似的计算。

方程式9 第二层的导数

方程式10 第一层的导数

 七、总体思路

从第一层层对z的损失函数导数有助于计算（L-1）层（上一层）对损失函数的导数。结果将用于计算激活函数的导数。

图4 神经网络的反向传播

def L_model_backward(AL, Y, parameters, forward_cache, nn_architecture):
    grads = {}
    number_of_layers =len(nn_architecture)
    m = AL.shape[1]
    Y = Y.reshape(AL.shape) # afterthis line, Y is the same shape as AL
    # Initializing thebackpropagation
    dAL = - (np.divide(Y, AL) -np.divide(1 - Y, 1 - AL))
    dA_prev = dAL
    for l in reversed(range(1,number_of_layers)):
        dA_curr = dA_prev
        activation =nn_architecture[l]["activation"]
        W_curr = parameters['W' +str(l)]
        Z_curr = forward_cache['Z' +str(l)]
        A_prev = forward_cache['A' +str(l-1)]
        dA_prev, dW_curr, db_curr =linear_activation_backward(dA_curr, Z_curr, A_prev, W_curr, activation)
        grads["dW" +str(l)] = dW_curr
        grads["db" +str(l)] = db_curr
    return grads
def linear_activation_backward(dA, Z, A_prev, W, activation):
    if activation =="relu":
        dZ = relu_backward(dA, Z)
        dA_prev, dW, db =linear_backward(dZ, A_prev, W)
    elif activation =="sigmoid":
        dZ = sigmoid_backward(dA, Z)
        dA_prev, dW, db =linear_backward(dZ, A_prev, W)
    return dA_prev, dW, db
def linear_backward(dZ, A_prev, W):
    m = A_prev.shape[1]
    dW = np.dot(dZ, A_prev.T) / m
    db = np.sum(dZ, axis=1,keepdims=True) / m
    dA_prev = np.dot(W.T, dZ)
    return dA_prev, dW, db

代码段5 反向传播模块

 更新参数

　　该函数的目标是通过梯度优化来更新模型的参数。

def update_parameters(parameters, grads, learning_rate):
    L = len(parameters)
    for l in range(1, L):
        parameters["W" +str(l)] = parameters["W" + str(l)] - learning_rate *grads["dW" + str(l)]
        parameters["b" +str(l)] = parameters["b" + str(l)] - learning_rate *grads["db" + str(l)]
    return parameters

全模型

神经网络模型的完整实现包括在片段中提供的方法。

def L_layer_model(X, Y, nn_architecture, learning_rate = 0.0075,num_iterations = 3000, print_cost=False):
    np.random.seed(1)
    # keep track of cost
    costs = []
    # Parameters initialization.
    parameters =initialize_parameters(nn_architecture)
    # Loop (gradient descent)
    for i in range(0,num_iterations):
    # Forward propagation:[LINEAR -> RELU]*(L-1) -> LINEAR -> SIGMOID.
        AL, forward_cache =L_model_forward(X, parameters, nn_architecture)
        # Compute cost.
        cost = compute_cost(AL, Y)
        # Backward propagation.
        grads = L_model_backward(AL,Y, parameters, forward_cache, nn_architecture)
        # Update parameters.
        parameters =update_parameters(parameters, grads, learning_rate)
        # Print the cost every 100training example
        if print_cost and i % 100 ==0:
            print("Cost afteriteration %i: %f" %(i, cost))
            costs.append(cost)
            # plot the cost
    plt.plot(np.squeeze(costs))
    plt.ylabel('cost')
    plt.xlabel('iterations (pertens)')
    plt.title("Learning rate=" + str(learning_rate))
    plt.show()
    return parameters

代码段7 整个神经网络模型

只需要将已知的权重和系列测试数据，应用于正向传播模型，就能预测结果。

　　可以修改snippet1中的nn_架构，以构建具有不同层数和隐藏层大小的神经网络。此外，准备正确实现激活函数及其派生函数（代码段2）。所实现的函数可用于修改代码段3中的线性正向激活方法和代码段5中的线性反向激活方法。

进一步改进

　　如果训练数据集不够大，则可能面临“过度拟合”问题。这意味着所学的网络不会概括为它从未见过的新例子。可以使用正则化方法，如L2规范化（它包括适当地修改成本函数）或退出（它在每次迭代中随机关闭一些感知机）。

　　我们使用梯度下降来更新参数和最小化成本。你可以学习更多高级优化方法，这些方法可以加快学习速度，甚至可以为成本函数提供更好的最终价值，例如：

• • 　　小批量梯度下降
  • 　　动力
  • 　　Adam优化器

参考：http://www.uml.org.cn/ai/201911251.asp