[AHOI2007]密码箱 （数学 + 暴力）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/19877
来源：牛客网

题目描述

在一次偶然的情况下，小可可得到了一个密码箱，听说里面藏着一份古代流传下来的藏宝图，只要能破解密码就能打开箱子，而箱子背面刻着的古代图标，就是对密码的提示。经过艰苦的破译，小可可发现，这些图标表示一个数以及这个数与密码的关系。假设这个数是n，密码为x，那么可以得到如下表述： 密码x大于等于0，且小于n，而x的平方除以n，得到的余数为1。 小可可知道满足上述条件的x可能不止一个，所以一定要把所有满足条件的x计算出来，密码肯定就在其中。计算的过程是很艰苦的，你能否编写一个程序来帮助小可可呢？（题中ｘ，ｎ均为正整数）

输入描述:

输入文件只有一行，且只有一个数字n(1 ≤ n ≤ 2,000,000,000)。

输出描述:

你的程序需要找到所有满足前面所描述条件的x，如果不存在这样的x，你的程序只需输出一行“None”(引号不输出)，否则请按照从小到大的顺序输出这些x，每行一个数。

示例1

输入

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12

输出

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1
5
7
11

析：根据题意，很容易就能列出一个式子 x^2 % n = 1 也就是 x^2 = k*n + 1 再变形得到 x^2 - 1 = k * n，再变形，(x+1)(x-1) = k * n，得到这个式子，我就能从中得到一些信息，(x - 1) 和 (x + 1)，必然包括 n 的所有的素因子，我们可以把 n 的所有素因子分成两份，一份给 (x-1)假设是 a， 一份给 (x+1)，假设是b，然后再给a 和 b 随便配系数，假设是x，y，这样得到的积一定是 n  的倍数，并且配的系数还满足ax-by=2，或者ay-bx=2，直接枚举b（假设b是相比a来说更大的数）的倍数，然后判断能不能一个整数的x。注意要使用long long ，在计算过程中可能会超过int。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m;

int main(){
  cin >> n;
  set<int> ans;
  for(int i = 1; i * i <= n; ++i) if(n % i == 0){
    int a = i, b = n / i;  // a <= b
    for(long long j = 0; j <= n; j += b){
      if(j >= 2 && (j-2) % a == 0)  ans.insert(j - 1);
      if(j < n && (j + 2) % a == 0)  ans.insert(j + 1);
    }
  }
  if(ans.empty())  cout << "None" << endl;
  else for(auto &x : ans)  cout << x << endl;
  return 0;
}