【线性代数】7-1:线性变换思想(The Idea of a Linear Transformation)

title: 【线性代数】7-1:线性变换思想(The Idea of a Linear Transformation)

categories:

Mathematic
Linear Algebra

keywords:
Linear Transformation
Linear Combination
Kernel
Range

toc: true

date: 2017-12-04 09:04:18

Abstract: 本篇介绍线性代数的另一个角度，就是线性变换思想

Keywords: Linear Transformation，Linear Combination，Kernel，Range

开篇废话

今天没废话，线性代数到上一篇可以说已经成体系了，不能说自己精通，起码了解了大概的讨论，接下来这三篇第7章的博客是从另一个角度入门线性代数，所以从现在开始，你可以忘记前面学的所有的切入方法，也就是线性代数提出的方法，我们之前的完整套路依靠的是对线性方程组求解的过程引出后面一系列的操作，但是，线性代数为什么叫线性代数，而不叫线性方程组呢？那么本章就是解释，我觉得这个角度切入提出完整的理论更通顺，但是问题就是这么切入没有通过方程组来的那么简单，所以这个角度适合下一步提高，线性方程组适合入门，但是殊途同归，最后都能得到完整的线性代数知识框架。

The Idea of a Linear Transformation

我们第一章应该反复强调线性组合，就是一个乘加计算满足线性，当时一直很困惑为啥叫线性组合，并且当时的博客一直强调线性组合是线性代数的重要理论基础，有了线性组合才有了后面的所有。但是线性组合和线性变换有所区别：线性组合是线性变换的一种，但是线性变换并不一定就是乘加计算（线性组合）。从Caculus的角度来看，如果把某个线性组合看成一个函数，那么这个函数 TTT 满足：

T(x+y)=T(x)+T(y)T(αx)=αT(x)
T(x+y)=T(x)+T(y)\\
T(\alpha x)=\alpha T(x)
T(x+y)=T(x)+T(y)T(αx)=αT(x)

或者

T(αx+βy)=αT(x)+βT(y)
T(\alpha x + \beta y)=\alpha T(x) + \beta T(y)
T(αx+βy)=αT(x)+βT(y)

这两种表达方式都是在Caculus中对函数线性的表达，如果对于线性代数，我们应该把输入输出转换到对应的向量空间，TTT 不在表示一个number to number的映射，而是一个vector to vector的映射：

A Transformation T assigns an output T(v)T(v)T(v) to each input vector vvv in VVV. The transformation is linear if it meets these requirement for all v⃗\vec{v}v and w⃗\vec{w}w:

T(v+w)=T(v)+T(w)T(cv)=cT(v)
T(v+w)=T(v)+T(w)\\
T(cv)=cT(v)
T(v+w)=T(v)+T(w)T(cv)=cT(v)

or take the two equation into one:

T(cv+dw)=cT(v)+dT(w)
T(cv+dw)=cT(v)+dT(w)
T(cv+dw)=cT(v)+dT(w)

接下来正经的做法是举例子，但是我想让大家都冷静冷静，当年张三丰教张无忌太极剑法的时候，就问张无忌忘了多少了？张教主说忘了一半了，又过了一会儿，张教主说全忘了，于是张真人说甚好，去揍他吧。哈哈，这段话说的基本上就是一个知识理解的必要过程，如果这段知识，你的师父或者教材让你很流畅的读下来，你肯定啥都记不住，因为一切太通常，你回觉得一切都那么理所当然，而蹩脚的老师讲的课会让你听了之后印象深刻，因为每个地方都有不懂的，你就会思考所以印象深刻，这种印象深刻的最直接后果就是等你忘了以后就真的忘了，而大师讲的课，你可能忘得更快，但是当你再看第二遍的时候整个知识树瞬间全部连接起来，融汇贯通，印象最深刻的一个坑爹老师是高中的一个生物老师，说实话，不客气的说那个老师真的是高中遇到最垃圾的老师，当时高中我还是个积极上进的好学生，每天还在思考上清华还是上北大呢，结果这个老师让我第一次知道什么是垃圾的老师，上课念课本不说，完全没有自己的体系，然后每天的方式就是提问不会的要被罚写（每个概念20遍，然后我用五只笔捆绑在一起，然后瞬间完成），卧槽，我当时都震惊了，还有这种教课方式，好在后来可爱的海燕老师来了，这个货就滚蛋了，不然我估计我连西电都考不上。

怎么样，现在还能想起来矩阵怎么来的么？如果还能想起来上面那么一大段废话就白说了，赶紧忘了矩阵，我们现在没有矩阵，只有线性变换。

举个