【csp模拟赛3】bridge.cpp--矩阵加速递推
题目描述
穿越了森林,前方有一座独木桥,连接着过往和未来(连接着上一题和下一题...)。 这座桥无限长。
小 Q 在独木桥上彷徨了。他知道,他只剩下了 N 秒的时间,每一秒的时间里,他会向 左或向右移动一步。 N 秒之后,小 Q 恰在桥上某一特定位置,且他每两次经过此位置的时间间隔不会超过 M 秒。 那么问题来了,这 N 秒的时间里,小 Q 的路线总共会有多少种可能的形式。
输入
文件第一行两个正整数 N、M,如题目所描述
输出
输出一个整数,表示可能的路线数量最终模 1000000007 的结果
样例输入 1
4 2
样例输出 1
4
样例输入2
10 6
样例输出 2
184
数据规模与约定 对于 30% 的测试数据, 2 <=N<=100 ; 对于全部测试数据, 9 2 <=N <=10 , M <=N 且 M <=100 。保证 N 和 M 都是偶 数。资源限制 每个测试点空间限制 256MB,时间限制 1s。 一共 20 个测试点,满分 100 分。
思想:
矩阵加速递推
若只考虑从最终到达的特定位置向单一方向出发,令 F(x, y)表示在一次出行内离开最终 位置 x 个单位时间时你恰好处于距最终位置 y 个单位距离的方案数。易得转移方程: F(1,1)=1,F(x,y)=F(x-1,y-1)+F(x-1,y+1). 预处理 F 数组,时间复杂度 O(M2 )。 由此可直接通过递推简便地得到答案,时间复杂度 O(NM),可通过 60%的测试数据。 利用矩阵乘法优化,可将时间复杂度优化至 O(M^3*log2N),通过全部测试数据。
代码:
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define mod 1000000007
using namespace std; int n,m;
long long f[200][200];
struct node {
long long a[200][200]; }a,c; inline node MUL(node a,node b) {
node wfx;
memset(wfx.a,0,sizeof(c.a));
for(int i = 1;i <= m >> 1;i ++)
for(int j = 1;j <= m >> 1;j ++)
for(int k = 1;k <= m >> 1;k ++)
wfx.a[i][j] = (wfx.a[i][j] + a.a[i][k] * b.a[k][j]) % mod;
return wfx;
} inline void KSM(int y) {
for( ; y ; y >>= 1,a = MUL(a,a))
if(y & 1) c = MUL(c,a);
} int main()
{
#ifdef yilnr
#else
freopen("bridge.in","r",stdin);
freopen("bridge.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d%d",&n,&m);
f[1][1]=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=(m>>1);j++)
{
f[i+1][j+1]=(f[i+1][j+1]+f[i][j])%mod;
f[i+1][j-1]=(f[i+1][j-1]+f[i][j])%mod;
}
for(int i=1;i<=(m>>1)-1;i++)a.a[i+1][i]=1;
for(int i=1;i<=(m>>1);i++)c.a[i][i] = 1,a.a[1][i]=(f[i<<1][0]<<1)%mod;
KSM(n>>1);
printf("%d",c.a[1][1]);
}
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