题解luoguP2054 BZOJ1965【[AHOI2005]洗牌】

• 题目链接：

  https://www.luogu.org/problemnew/show/P2054

  https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1965

• 思路：

  首先一开始我看错题了，但是发现了一些有趣的东西：

我一开始理解的意思：第L张扑克牌的牌面大小是多少

这是题目要我们求得，然后我看成了原序列中第L张扑克牌的位置...然后兴冲冲地找到了规律，比较有趣: $pos \equiv (L*2^m) mod (n+1)$,具体怎么证我不会，可惜数竞大佬都去集训了，现在也没办法。

然后按这个规律交了一发只有10分，才发现看错题了。我们要求的是m次洗牌后第L张扑克牌的牌面大小,然而刚刚我们已经发现了$pos \equiv (L*2^m) \pmod {n+1}$

于是我们设位于L位，即现在位置（pos）在L上的牌在原序列第x张，根据上面规律：$(x*2^m) \equiv L \pmod {n+1}$ 

所以 $x \equiv L*{2^m}^{-1} \pmod {n+1} $，求出$2^m$在模$(n+1)$意义下的逆元即可。

- 其他：

这里不用$(n+1)$不一定是质数，所以最好不要用费马小定理求，否则你只有40分，然后我们就只能用拓欧了

同时我发现当m满足$2^m \equiv 1 \pmod {n+1}$时，恰好变成最开始的序列，然而我还是不会证明

- 代码：

include

include

include

include

include

include

define ll long long

using namespace std;

ll quick_pow(int a,int b,int c)//a^b%c

{

if(b0)return 1;

ll x=quick_pow(a,b>>1,c);

x=xx%c;

if(b&1)x=xa%c;

return x;

}

void ex_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y, ll &d){

if (!b) {d=a,x=1,y=0;}

else{

ex_gcd(b,a%b,y,x,d);

y=y-x*(a/b);

}

return ;

}

ll inv(ll t, ll p){

ll d,x,y;

ex_gcd(t,p,x,y,d);

return (x%p+p)%p;

}

int main(){

ll n,m,l;

cin>>n>>m>>l;

ll p=quick_pow(2,m,n+1);

if(p%(n+1)1){

printf("%lld",l);

}

else{

printf("%lld\n",(l*inv(p,n+1))%(n+1));

}

return 0;

}