【Codeforces 113B】Petr#

Codeforces 113 B

题意：有一个母串\(S\)以及两个串\(S_{begin}\)和\(S_{end}\)，问\(S\)中以\(S_{begin}\)为开头并且以\(S_{end}\)为结尾的不同子串的个数。

思路1（后缀自动机）：

首先肯定要把后缀自动机构建出来（第一次一遍敲对后缀自动机祭），然后我们考虑\(S_{begin}\)（和\(S_{end}\)，是对称的，不做考虑）是不是在S中作为一个子串出现，如果出现了那么看它所对应的节点是哪个，打个标记（这个操作就是在自动机上沿着\(S_{begin}\)的每个字符的那条边走，最终走到哪个节点就是\(S_{begin}\)所对应的节点。）

然后找S的每一个长度为\(|S_{begin}|\)的子串，在自动机上走一遍，如果最终的节点是\(S_{begin}\)所对应的节点，那么就说明\(S_{begin}\)在此出现了，在这一位上打标记。

枚举要求的子串的开头结尾位置，如果开头的时候\(S_{begin}\)出现了，且在结尾的时候\(S_{end}\)出现了，那么这个子串就是属于答案的。将这个子串对应的节点的这个长度的标签打一下。（这里很需要注意！！！我在写的时候直接是将这个节点的标签打上了，这样非常不对，因为一个节点的定义是长度连续的一些子串们！！！如果我们只是将这个节点打上标签，则会区分不出来长度不同的子串，导致答案减少很多。因此WA15了两次！）

看每个节点打了多少标签就好了。

思路2（后缀自动机）：

首先也是构造后缀自动机。

然后我们可以找到\(S_{end}\)在自动机上对应的节点是什么。既然这个子串以 \(S_{end}\)为结尾，那么肯定是\(S_{begin}\)+\(S_{end}\)的一个后缀或\(S_{begin}\)+（一堆东西）+\(S_{end}\)。我们希望保证\(S_{begin}\)完整以便计算答案。所以我们需要将\(S_{end}\)的答案加到\(S_{begin}\)头上。

这里用的方法是这样的：

首先将end的值加到parent树的子树中（parent树就是将所有节点的link指向的值向它们自己连边后的树），

其次将所有的节点的值加到go的dag中这个节点的所有父亲们头上。

这样做的结果就是每一个节点\(u\)的值就是从\(u\)表示的某个子串开始之后以\(S_{end}\)为结尾的不同子串个数

那么答案就应该是\(S_{begin}\)所对应的节点。

但是如果直接这样交上去会\(wa30\)，说明还有一些问题。

对此，freak93在最后做了一些处理，使得他的程序可以AC：

按照\(S_{end}\)的顺序在自动机上跑，如果当前节点已经跑到了\(S_{begin}\)应该到的位置，但是长度却不对，就是说跑到了这个起始串对应的节点的其它子串内，肯定不应该取。否则如果已经跑到了长度为\(|S_{begin}|\)的节点，但是并不是\(S_{begin}\)所对应的节点，那么就肯定得跑到现在已经到的串的后缀继续看（为什么会是后缀啊。。。我觉得应该是前缀？为后面的反例埋下伏笔）

应该就是这样的？看了一天不算特别懂。。。（这里完全不对。。。

P.S.：这里的做法其实是看\(S_{begin}\)是不是\(S_{end}\)的一个子串且不是它的前缀，如果是的话就说明从\(S_{begin}\)所代表的节点可以走到\(S_{end}\)所代表的节点，

要减去一些不对的答案，比如\(S_{begin}\)在\(S_{end}\)中出现的次数，还有如果是\(S_{begin}\)在之前出现过，即说明真正是有答案的，他应该不更改答案，但是他成功地减去了之前求出来的的答案\(\times\)出现次数，所以。。。（这个方法真的很不好想啊。。。正常人不会想这种吧。。。可能他异于常人。。。

所以就被我的反例干掉了

注：反例（对于freak93在CF上AC的版本）：

aabaab
aa
baab

这个的答案应该是1，但是这个程序输出了0。

我感觉好像他的后缀自动机敲错了

不是他的后缀自动机错了，而是我的调试语句写错了以至于我以为后缀自动机错了。。。

肯定是他最后修改对于\(wa30\)的错误的步骤错了（肯定不是选择跳到后缀嘛）（错误在上面说了）

思路3（后缀数组）：

先用\(O(nlog^2n)\)的naive的做法求出后缀数组（就是在正常求的每一个\(2^h\)的阶段都直接sort）

然后把高度数组给求出来（我也不知道什么原理。。。反正求出来的就是排名为i的后缀和排名为i+1的后缀的最长公共前缀辣）

然后暴力（这个很有个性）地求出\(S_{begin}\)和\(S_{end}\)出现的位置们。

再想怎么补充不漏地记录答案。首先以i位置开始的子串肯定会和以i-1位置开始的子串有一段重复的，而这段重复的应该已经在i-1的时候算过了，所以i和i-1开始的后缀的最长公共前缀（高度数组）这一段不应该被i开始的子串记录。那么就很简单辣